Determine o valor de a de tal modo que v=3 i-a j+k e u=5 i-3 j+a k sejam perpendiculares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de para que os vetores e sejam perpendiculares. Isso entra no conteúdo de álgebra vetorial, especificamente sobre o produto escalar de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de v cdot u = (vx)(ux) + (vy)(uy) + (vz)(uz) e é dado por:

Passo 3

Vamos aplicar isso aos nossos vetores:
v cdot u = (3)(5) + (-a)(-3) + (1)(a)

Passo 4

Agora, calculamos cada termo:
3 times 5 = 15
(-a) times (-3) = 3a
1 times a = a
Então, somando tudo:
15 + 3a + a = 15 + 4a

Passo 5

Para que os vetores sejam perpendiculares, o produto escalar precisa ser zero:
15 + 4a = 0

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar 4a = -15 :
a = -154

Resposta

O valor de que torna os vetores perpendiculares é .

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