Ache a equação cartesiana do plano Pi, onde:
f. Pi contém o eixo O Y e a diagonal do espaço D: P=t(1,1,1), t in R.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação cartesiana de um plano Pi que contém o eixo OY e a diagonal do espaço D, dada por P = t(1,1,1), onde t in R. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados a planos no espaço tridimensional, como vetores normais e equações de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar dois vetores que estão no plano Pi. Como o plano contém o eixo OY, podemos considerar um vetor que vai ao longo desse eixo. O vetor diretor do eixo OY é v = (0,1,0). Além disso, a diagonal do espaço D tem o vetor diretor w = (1,1,1). Esses dois vetores estão no plano Pi.

Passo 3

Com esses dois vetores no plano, podemos determinar o vetor normal ao plano Pi. O vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Para encontrar o vetor normal n, usamos o produto vetorial dos vetores v e w:
n = v times w = i & j & k 0 & 1 & 0 1 & 1 & 1

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante para encontrar n:
n = i(1 cdot 1 - 0 cdot 1) - j(0 cdot 1 - 0 cdot 1) + k(0 cdot 1 - 1 cdot 1) n = i(1) - j(0) + k(-1) n = (1, 0, -1)
Então, o vetor normal ao plano Pi é n = (1, 0, -1).

Passo 5

Com o vetor normal n conhecido, podemos usar a equação geral do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) é um ponto qualquer no plano. Como o plano contém o eixo OY, podemos escolher o ponto de origem O(0,0,0) para facilitar os cálculos.

Passo 6

Substituindo os valores na equação do plano:
1(x - 0) + 0(y - 0) -1(z - 0) = 0 x - z = 0

Resposta

A equação cartesiana do plano Pi é:
x - z = 0

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