Ache a equação cartesiana do plano , onde:
f. contém o eixo e a diagonal do espaço .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação cartesiana de um plano que contém o eixo e a diagonal do espaço, dada por , onde . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados a planos no espaço tridimensional, como vetores normais e equações de planos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar dois vetores que estão no plano . Como o plano contém o eixo , podemos considerar um vetor que vai ao longo desse eixo. O vetor diretor do eixo é . Além disso, a diagonal do espaço tem o vetor diretor . Esses dois vetores estão no plano .
Passo 3
Com esses dois vetores no plano, podemos determinar o vetor normal ao plano . O vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Para encontrar o vetor normal , usamos o produto vetorial dos vetores e :
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante para encontrar :
Então, o vetor normal ao plano é .
Passo 5
Com o vetor normal conhecido, podemos usar a equação geral do plano:
Onde são as componentes do vetor normal e é um ponto qualquer no plano. Como o plano contém o eixo , podemos escolher o ponto de origem para facilitar os cálculos.