Ache a equação cartesiana do plano , onde:
f. contém o eixo e a diagonal do espaço .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação cartesiana de um plano que contém o eixo e a diagonal do espaço , dada por , onde . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados a planos no espaço tridimensional, como vetores normais e equações de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar dois vetores que estão no plano . Como o plano contém o eixo , podemos considerar um vetor que vai ao longo desse eixo. O vetor diretor do eixo é . Além disso, a diagonal do espaço tem o vetor diretor . Esses dois vetores estão no plano .

Passo 3

Com esses dois vetores no plano, podemos determinar o vetor normal ao plano . O vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Para encontrar o vetor normal , usamos o produto vetorial dos vetores e :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante para encontrar :
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 5

Com o vetor normal conhecido, podemos usar a equação geral do plano:
Onde são as componentes do vetor normal e é um ponto qualquer no plano. Como o plano contém o eixo , podemos escolher o ponto de origem para facilitar os cálculos.

Passo 6

Substituindo os valores na equação do plano:

Resposta

A equação cartesiana do plano é:

Exercícios relacionados

Ache a equação cartesiana do plano , onde:
a. passa pelos pontos e .
Ache a equação cartesiana do plano , onde:
b. passa pelos pontos e .
Usando o produto escalar ou o produto vetorial, prove que
  1. ;
  2. .
Usando vetores, prove que, para um triângulo qualquer de lados com comprimentos e vale a chamada lei dos cossenos
onde é o ângulo subentendido pelos lados e .