Ache a equação cartesiana do plano Pi, onde:
a. Pi passa pelos pontos A=(2,0,-1), B=(1,1,1) e C=(1,1,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica. A gente precisa achar a equação cartesiana do plano Pi que passa pelos três pontos A=(2,0,-1), B=(1,1,1) e C=(1,1,-1). Para isso, vamos usar vetores e o produto vetorial para encontrar a normal do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que um plano no espaço tridimensional pode ser definido por uma equação da forma:
Ax + By + Cz + D = 0
Aqui, (A, B, C) é o vetor normal ao plano. Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes A, B, C e D.

Passo 3

Para achar o vetor normal, precisamos de dois vetores que estão no plano. Podemos conseguir isso subtraindo as coordenadas dos pontos dados:
AB = B - A = (1-2, 1-0, 1-(-1)) = (-1, 1, 2)
AC = C - A = (1-2, 1-0, -1-(-1)) = (-1, 1, 0)

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor normal n fazendo o produto vetorial desses dois vetores:
n = AB times AC = i & j & k -1 & 1 & 2 -1 & 1 & 0
Calculando o determinante:
n = i(1 cdot 0 - 2 cdot 1) - j(-1 cdot 0 - 2 cdot (-1)) + k(-1 cdot 1 - 1 cdot (-1)) n = i(-2) - j(2) + k(0) n = (-2, -2, 0)
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por -2:
n = (1, 1, 0)

Passo 5

Agora que temos o vetor normal, a equação do plano fica:
1(x) + 1(y) + 0(z) + D = 0 x + y + D = 0
Para encontrar D, vamos usar um dos pontos que está no plano. Vamos usar o ponto A=(2,0,-1):
2 + 0 + D = 0 D = -2

Resposta

A equação cartesiana do plano Pi é:
x + y - 2 = 0

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