Ache a equação cartesiana do plano Pi, onde:
c. Pi passa pelo ponto A=(0,0,1) e é paralelo aos vetores u=(0,1,1)
e v=(1,0,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação cartesiana do plano . Sabemos que o plano passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e . Vamos usar conhecimentos de Geometria Analítica para isso.

Passo 2

Primeiro, pra achar a equação do plano, precisamos de um vetor normal a ele. Um vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que está no plano. Como e estão no plano, o vetor normal será o produto vetorial desses dois vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial n = (b cdot f - c cdot e, c cdot d - a cdot f, a cdot e - b cdot d) . A fórmula do produto vetorial entre dois vetores n = (1 cdot (-1) - 1 cdot 0, 1 cdot 1 - 0 cdot (-1), 0 cdot 0 - 1 cdot 1) = (-1, 1, -1) e é:
Aplicando isso aos nossos vetores:

Passo 4

Agora que temos o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 , podemos usar a equação geral do plano:
Onde são as componentes do vetor normal e é um ponto pelo qual o plano passa, que no caso é .

Passo 5

Substituindo os valores na equação:
-1(x - 0) + 1(y - 0) - 1(z - 1) = 0
Simplificando:
-1 cdot x + 1 cdot y - 1 cdot z + 1 = 0
-x + y - z + 1 = 0

Passo 6

Para deixar a equação mais convencional, vamos multiplicar todos os termos por -1:
x - y + z - 1 = 0
Ou, reorganizando:
x - y + z = 1

Resposta

A equação cartesiana do plano é .

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