Determine a reta , onde:
d. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a reta que é a interseção entre dois planos, chamados e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações paramétricas de planos e como determinar a interseção entre eles. Vamos precisar montar um sistema de equações e resolver para encontrar os parâmetros que definem a reta .

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações dos planos:
  • O plano está dado de forma paramétrica:
    Aqui, e são os parâmetros que variam em .
  • O plano está dado pela equação:
Nossa meta é achar os valores de e que satisfazem ambas as equações, ou seja, que fazem os dois planos se interceptarem na reta .

Passo 3

Vamos começar substituindo a equação de na equação de . Sabemos que no ponto de interseção, as coordenadas e devem satisfazer . Então, substituímos:
Substituindo na equação de :

Passo 4

Vamos simplificar a equação que obtivemos:
Dessa forma, encontramos que .

Passo 5

Agora que sabemos que , vamos substituir esse valor de volta nas equações paramétricas de para encontrar e em termos de :

Passo 6

Observamos que é constante e igual a 1, enquanto e variam de acordo com . Portanto, podemos expressar a reta em forma paramétrica:

Resposta

A reta de interseção entre os planos e está definida pelas equações paramétricas:

Exercícios relacionados

Determine equações paramétricas para o plano , onde:
d. .
Usando vetores, prove que, para um triângulo qualquer de lados com comprimentos e vale a chamada lei dos cossenos
onde é o ângulo subentendido pelos lados e .
Determine a reta , onde:
b. .
Ache a equação cartesiana do plano , onde:
c. passa pelo ponto e é paralelo aos vetores
e .