Determine a reta ell=Pi1 cap Pi2, onde:
d. Pi1:lx=1+s+t y=1+t z=1+s-t, s, t in R, Pi2: x-z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a reta que é a interseção entre dois planos, chamados e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações paramétricas de planos e como determinar a interseção entre eles. Vamos precisar montar um sistema de equações e resolver para encontrar os parâmetros que definem a reta .

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações dos planos:
  • O plano x = 1 + s + t y = 1 + t z = 1 + s - t está dado de forma paramétrica:
    x - z = 0
    Aqui, e são os parâmetros que variam em .
  • O plano está dado pela equação:
Nossa meta é achar os valores de e que satisfazem ambas as equações, ou seja, que fazem os dois planos se interceptarem na reta .

Passo 3

Vamos começar substituindo a equação de x = 1 + s + t z = 1 + s - t na equação de (1 + s + t) - (1 + s - t) = 0 . Sabemos que no ponto de interseção, as coordenadas e devem satisfazer . Então, substituímos:
Substituindo na equação de :

Passo 4

Vamos simplificar a equação que obtivemos:
1 + s + t - 1 - s + t = 0 2t = 0
Dessa forma, encontramos que .

Passo 5

Agora que sabemos que x = 1 + s + 0 = 1 + s y = 1 + 0 = 1 z = 1 + s - 0 = 1 + s , vamos substituir esse valor de volta nas equações paramétricas de para encontrar e em termos de :

Passo 6

Observamos que ell: x = 1 + s y = 1 z = 1 + s , s in R é constante e igual a 1, enquanto e variam de acordo com . Portanto, podemos expressar a reta em forma paramétrica:

Resposta

A reta ell: x = 1 + s y = 1 z = 1 + s , s in R de interseção entre os planos e está definida pelas equações paramétricas:

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