Ache a equação cartesiana do plano , onde:
e. passa pelo ponto e contém a reta

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa encontrar a equação cartesiana de um plano . Esse plano passa pelo ponto e também contém a reta definida pelas equações:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre planos e retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um vetor diretor da reta . Olhando as equações paramétricas da reta:
Podemos ver que o vetor diretor é dado pelos coeficientes de , ou seja:

Passo 3

Agora, precisamos de outro vetor que esteja no plano . Para isso, vamos pegar um ponto na reta . Vamos escolher para facilitar:
O vetor que vai de até é:

Passo 4

Com os dois vetores e que estão no plano , podemos encontrar um vetor normal ao plano. Isso é feito calculando o produto vetorial desses dois vetores:

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial:
Portanto, o vetor normal é:

Passo 6

Agora que temos o vetor normal e um ponto que pertence ao plano, podemos escrever a equação cartesiana do plano usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Podemos dividir todos os termos por para simplificar:

Resposta

A equação cartesiana do plano é .

Exercícios relacionados

Ache a equação cartesiana do plano , onde:
c. passa pelo ponto e é paralelo aos vetores
e .
Determine a reta , onde:
b. .
Determine equações paramétricas para o plano , onde:
c. .
Determine a reta , onde:
c. .