Ache a equação cartesiana do plano Pi, onde:
e. Pi passa pelo ponto P0=(1,1,-2) e contém a reta
ell:l x=2-t y=t z=t , t in R

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa encontrar a equação cartesiana de um plano l x=2-t y=t z=t , t in R . Esse plano passa pelo ponto e também contém a reta definida pelas equações:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre planos e retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um vetor diretor da reta x = 2 - t, y = t, z = t . Olhando as equações paramétricas da reta:
v = (-1, 1, 1)
Podemos ver que o vetor diretor é dado pelos coeficientes de , ou seja:

Passo 3

Agora, precisamos de outro vetor que esteja no plano P = (2, 0, 0) . Para isso, vamos pegar um ponto na reta u = (2-1, 0-1, 0-(-2)) = (1, -1, 2) . Vamos escolher para facilitar:
O vetor que vai de até é:

Passo 4

Com os dois vetores n = u times v e que estão no plano , podemos encontrar um vetor normal ao plano. Isso é feito calculando o produto vetorial desses dois vetores:

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial:
n = i & j & k 1 & -1 & 2 -1 & 1 & 1
n = i((-1)(1) - (2)(1)) - j((1)(1) - (2)(-1)) + k((1)(1) - (-1)(-1))
n = i(-1 - 2) - j(1 + 2) + k(1 - 1) = i(-3) - j(3) + k(0)
Portanto, o vetor normal é:
n = (-3, -3, 0)

Passo 6

Agora que temos o vetor normal nx(x - x0) + ny(y - y0) + nz(z - z0) = 0 e um ponto -3(x - 1) - 3(y - 1) + 0(z + 2) = 0 que pertence ao plano, podemos escrever a equação cartesiana do plano usando a fórmula:
-3x + 3 - 3y + 3 = 0 implies -3x - 3y + 6 = 0
Substituindo os valores:
x + y - 2 = 0
Simplificando:
Podemos dividir todos os termos por para simplificar:

Resposta

A equação cartesiana do plano é .

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