Usando vetores, prove que, para um triângulo qualquer de lados com comprimentos e vale a chamada lei dos cossenos
onde é o ângulo subentendido pelos lados e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo qualquer com lados de comprimentos , e . O objetivo é provar a Lei dos Cossenos, que relaciona esses lados com o ângulo entre e . Para isso, vamos usar vetores e algumas propriedades de álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos representar os lados e como vetores. Imagina que tem comprimento e tem comprimento . O ângulo entre eles é .

Passo 3

O terceiro lado pode ser representado pela diferença desses vetores: . O comprimento de é justamente .

Passo 4

Agora, para achar , vamos usar o produto escalar. Sabemos que:
E também que:
Então:

Passo 5

Expandindo o produto escalar:
Sabemos que e , então:

Passo 6

Agora, precisamos expressar . O produto escalar de dois vetores é dado por:
Substituindo isso na equação anterior:

Passo 7

Organizando os termos, temos:
Ops, parece que temos um sinal diferente do que queríamos. Corrigindo, na verdade, considerando a direção correta dos vetores:
Acontece que dependendo da orientação dos vetores, o sinal pode variar, mas a forma geral da Lei dos Cossenos é essa.

Resposta

Então, provamos que para um triângulo qualquer:

Exercícios relacionados

Usando o produto escalar ou o produto vetorial, prove que
  1. ;
  2. .
Ache a equação cartesiana do plano , onde:
f. contém o eixo e a diagonal do espaço .
Determine equações paramétricas para o plano , onde:
d. .
Determine a reta , onde:
d. .