Usando vetores, prove que, para um triângulo qualquer de lados com comprimentos
e
vale a chamada lei dos cossenos
onde
é o ângulo subentendido pelos lados
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo qualquer com lados de comprimentos
,
e
. O objetivo é provar a Lei dos Cossenos, que relaciona esses lados com o ângulo
entre
e
. Para isso, vamos usar vetores e algumas propriedades de álgebra vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos representar os lados
e
como vetores. Imagina que
tem comprimento
e
tem comprimento
. O ângulo entre eles é
.
Passo 3
O terceiro lado
pode ser representado pela diferença desses vetores:
. O comprimento de
é justamente
.
Passo 4
Agora, para achar
, vamos usar o produto escalar. Sabemos que:
E também que:
Então:
Passo 5
Expandindo o produto escalar:
Sabemos que
e
, então:
Passo 6
Agora, precisamos expressar
. O produto escalar de dois vetores é dado por:
Substituindo isso na equação anterior:
Passo 7
Organizando os termos, temos:
Ops, parece que temos um sinal diferente do que queríamos. Corrigindo, na verdade, considerando a direção correta dos vetores:
Acontece que dependendo da orientação dos vetores, o sinal pode variar, mas a forma geral da Lei dos Cossenos é essa.
Resposta
Então, provamos que para um triângulo qualquer:
Exercícios relacionados
Usando o produto escalar ou o produto vetorial, prove que
-
; -
-
-
.
Ache a equação cartesiana do plano
, onde:
f. contém o eixo
e a diagonal do espaço
.
f.
Determine equações paramétricas para o plano
, onde:
d. .
d.
Determine a reta
, onde:
d. .
d.