Usando o produto escalar ou o produto vetorial, prove que
-
;
-
-
-
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar quatro identidades trigonométricas usando produto escalar ou produto vetorial. Essas identidades são:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar entre dois vetores no plano. O produto escalar nos ajuda a relacionar os ângulos e as magnitudes dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar. Se temos dois vetores
e
com ângulos
e
em relação ao eixo x, respectivamente, o produto escalar é dado por:
onde
é o ângulo entre os dois vetores.
Passo 3
Vamos considerar dois vetores unitários para simplificar, ou seja,
. Então, o produto escalar fica:
Agora, se
faz um ângulo
e
faz um ângulo
, o ângulo entre eles será
.
Passo 4
Vamos aplicar isso para a identidade
:
Passo 5
Calculando o produto escalar:
E voilà! Essa é a primeira identidade que queríamos provar.
Passo 6
Agora, vamos para a segunda identidade:
. Usando o mesmo raciocínio, o ângulo entre
e
será
.
Isso porque o produto escalar com um vetor invertido introduz o sinal negativo.
Passo 7
Seguimos para a terceira identidade:
. Para isso, usamos a relação entre seno e cosseno que envolve o produto vetorial, mas vamos continuar no contexto do produto escalar.
Sabemos que:
Passo 8
Finalmente, para a quarta identidade:
:
Essa relação vem da combinação das projeções dos vetores em relação aos eixos.
Resposta
As identidades trigonométricas foram comprovadas usando o produto escalar:
Exercícios relacionados
Ache a equação cartesiana do plano
, onde:
f. contém o eixo
e a diagonal do espaço
.
f.
Ache a equação cartesiana do plano
, onde:
a. passa pelos pontos
e
.
a.
Usando vetores, prove que, para um triângulo qualquer de lados com comprimentos
e
vale a chamada lei dos cossenos
onde
é o ângulo subentendido pelos lados
e
.
Determine equações paramétricas para o plano
, onde:
d. .
d.