Usando o produto escalar ou o produto vetorial, prove que
  1. ;
  2. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar quatro identidades trigonométricas usando produto escalar ou produto vetorial. Essas identidades são:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar entre dois vetores no plano. O produto escalar nos ajuda a relacionar os ângulos e as magnitudes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar. Se temos dois vetores e com ângulos e em relação ao eixo x, respectivamente, o produto escalar é dado por:
onde é o ângulo entre os dois vetores.

Passo 3

Vamos considerar dois vetores unitários para simplificar, ou seja, . Então, o produto escalar fica:
Agora, se faz um ângulo e faz um ângulo , o ângulo entre eles será .

Passo 4

Vamos aplicar isso para a identidade :

Passo 5

Calculando o produto escalar:
E voilà! Essa é a primeira identidade que queríamos provar.

Passo 6

Agora, vamos para a segunda identidade: . Usando o mesmo raciocínio, o ângulo entre e será .
Isso porque o produto escalar com um vetor invertido introduz o sinal negativo.

Passo 7

Seguimos para a terceira identidade: . Para isso, usamos a relação entre seno e cosseno que envolve o produto vetorial, mas vamos continuar no contexto do produto escalar.
Sabemos que:

Passo 8

Finalmente, para a quarta identidade: :
Essa relação vem da combinação das projeções dos vetores em relação aos eixos.

Resposta

As identidades trigonométricas foram comprovadas usando o produto escalar:

Exercícios relacionados

Ache a equação cartesiana do plano , onde:
f. contém o eixo e a diagonal do espaço .
Ache a equação cartesiana do plano , onde:
a. passa pelos pontos e .
Usando vetores, prove que, para um triângulo qualquer de lados com comprimentos e vale a chamada lei dos cossenos
onde é o ângulo subentendido pelos lados e .
Determine equações paramétricas para o plano , onde:
d. .