Usando o produto escalar ou o produto vetorial, prove que
  1. cos (a-b)=cos (a) cos (b)+sin (a) sin (b);
  2. cos (a+b)=cos (a) cos (b)-sin (a) sin (b)
  3. sin (a-b)=sin (a) cos (b)-sin (b) cos (a)
  4. sin (a+b)=sin (a) cos (b)+sin (b) cos (a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar quatro identidades trigonométricas usando produto escalar ou produto vetorial. Essas identidades são:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar entre dois vetores no plano. O produto escalar nos ajuda a relacionar os ângulos e as magnitudes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar. Se temos dois vetores u cdot v = |u| |v| cos(theta) e com ângulos e em relação ao eixo x, respectivamente, o produto escalar é dado por:
onde é o ângulo entre os dois vetores.

Passo 3

Vamos considerar dois vetores unitários para simplificar, ou seja, u cdot v = cos(theta) . Então, o produto escalar fica:
Agora, se faz um ângulo e faz um ângulo , o ângulo entre eles será .

Passo 4

Vamos aplicar isso para a identidade cos(a - b) = u cdot v = (cos a i + sin a j) cdot (cos b i + sin b j) :

Passo 5

Calculando o produto escalar:
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
E voilà! Essa é a primeira identidade que queríamos provar.

Passo 6

Agora, vamos para a segunda identidade: cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b . Usando o mesmo raciocínio, o ângulo entre e será .
Isso porque o produto escalar com um vetor invertido introduz o sinal negativo.

Passo 7

Seguimos para a terceira identidade: sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b . Para isso, usamos a relação entre seno e cosseno que envolve o produto vetorial, mas vamos continuar no contexto do produto escalar.
Sabemos que:

Passo 8

Finalmente, para a quarta identidade: sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b :
Essa relação vem da combinação das projeções dos vetores em relação aos eixos.

Resposta

As identidades trigonométricas foram comprovadas usando o produto escalar:

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