Determine a reta ell=Pi1 cap Pi2, onde:
c. Pi1:lx=s y=t z=2+s-t , s, t in R, Pi2: x-z=1.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a reta ell, que é a interseção das duas superfícies Pi1 e Pi2. Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com interseção de planos. Para resolver isso, vamos usar as equações paramétricas de Pi1 e a equação cartesiana de Pi2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das superfícies. A superfície Pi1 é dada de forma paramétrica:
Pi1: x = s y = t z = 2 + s - t
Aqui, s e t são parâmetros que podem assumir qualquer valor real. Isso significa que qualquer ponto na superfície Pi1 pode ser obtido escolhendo valores para s e t.

Passo 3

A superfície Pi2 é dada pela equação cartesiana:
Pi2: x - z = 1
Queremos encontrar todos os pontos que estão simultaneamente em Pi1 e Pi2. Ou seja, precisamos encontrar valores de s e t que satisfaçam ambas as equações.

Passo 4

Vamos substituir as expressões de x, y e z de Pi1 na equação de Pi2:
x - z = s - (2 + s - t) = 1
Simplificando:
s - 2 - s + t = t - 2 = 1

Passo 5

Resolvendo para t:
t - 2 = 1 implies t = 3
Então, para a interseção ell, o parâmetro t deve ser igual a 3.

Passo 6

Com t = 3, substituímos de volta nas equações de Pi1 para encontrar x e z em termos de s:
x = s z = 2 + s - 3 = s - 1

Passo 7

Agora, podemos expressar a reta ell em termos do parâmetro s:
ell: x = s y = 3 z = s - 1 , s in R
Isso significa que todos os pontos da reta ell têm y = 3 e z depende de x de forma linear.

Resposta

A reta de interseção ell é dada por:
ell: x = s y = 3 z = s - 1 , s in R

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