Ache a equação do círculo que passa pelos pontos e a origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um círculo que passa por três pontos específicos: , e a origem . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente como determinar a equação geral de um círculo dado três pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um círculo no plano cartesiano é dada por:
Aqui, é o centro do círculo e é o raio. Nosso objetivo é encontrar , e .

Passo 3

Como o círculo passa pelos três pontos dados, cada um desses pontos satisfaz a equação do círculo. Vamos substituir cada ponto na equação para criar um sistema de equações:
Para :
Para :
Para :

Passo 4

Vamos simplificar essas três equações:
Agora, vamos usar a terceira equação para eliminar das outras duas.

Passo 5

Subtraindo a terceira equação da primeira:
Expandindo :
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, subtraindo a terceira equação da segunda:
Expandindo :
Resolvendo para :

Passo 7

Agora que temos e , podemos encontrar usando a terceira equação:
Portanto, .

Resposta

A equação do círculo é:
Ou, simplificando:

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Mostre que as colunas de uma matriz A são linearmente independentes se e só se a característica de é igual ao número de colunas de .
Identifique, dando o centro e o raio.
Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes:
Sejam
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