Ache a equação do círculo que passa pelos pontos e a origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um círculo que passa por três pontos específicos: , e a origem . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente como determinar a equação geral de um círculo dado três pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um círculo no plano cartesiano é dada por:
Aqui, é o centro do círculo e é o raio. Nosso objetivo é encontrar , e .
Passo 3
Como o círculo passa pelos três pontos dados, cada um desses pontos satisfaz a equação do círculo. Vamos substituir cada ponto na equação para criar um sistema de equações:
Para :
Para :
Para :
Passo 4
Vamos simplificar essas três equações:
Agora, vamos usar a terceira equação para eliminar das outras duas.
Passo 5
Subtraindo a terceira equação da primeira:
Expandindo :
Resolvendo para :
Passo 6
Agora, subtraindo a terceira equação da segunda:
Expandindo :
Resolvendo para :
Passo 7
Agora que temos e , podemos encontrar usando a terceira equação: