Ache a equação do círculo que passa pelos pontos (4,0),(0,3) e a origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um círculo que passa por três pontos específicos: (4,0), (0,3) e a origem (0,0). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente como determinar a equação geral de um círculo dado três pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um círculo no plano cartesiano é dada por:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Aqui, (h, k) é o centro do círculo e r é o raio. Nosso objetivo é encontrar h, k e r.

Passo 3

Como o círculo passa pelos três pontos dados, cada um desses pontos satisfaz a equação do círculo. Vamos substituir cada ponto na equação para criar um sistema de equações:
Para (4,0):
(4 - h)^2 + (0 - k)^2 = r^2
Para (0,3):
(0 - h)^2 + (3 - k)^2 = r^2
Para (0,0):
(0 - h)^2 + (0 - k)^2 = r^2

Passo 4

Vamos simplificar essas três equações:
  1. (4 - h)^2 + k^2 = r^2
  2. h^2 + (3 - k)^2 = r^2
  3. h^2 + k^2 = r^2
Agora, vamos usar a terceira equação para eliminar r^2 das outras duas.

Passo 5

Subtraindo a terceira equação da primeira:
(4 - h)^2 + k^2 - (h^2 + k^2) = 0
Expandindo (4 - h)^2:
16 - 8h + h^2 + k^2 - h^2 - k^2 = 0 implies 16 - 8h = 0
Resolvendo para h:
8h = 16 implies h = 2

Passo 6

Agora, subtraindo a terceira equação da segunda:
h^2 + (3 - k)^2 - (h^2 + k^2) = 0
Expandindo (3 - k)^2:
9 - 6k + k^2 + h^2 - h^2 - k^2 = 0 implies 9 - 6k = 0
Resolvendo para k:
6k = 9 implies k = 32

Passo 7

Agora que temos h = 2 e k = 32, podemos encontrar r usando a terceira equação:
h^2 + k^2 = r^2 implies 2^2 + (32)^2 = r^2 implies 4 + 94 = r^2 implies r^2 = 254
Portanto, r = 52.

Resposta

A equação do círculo é:
(x - 2)^2 + (y - 32)^2 = (52)^2
Ou, simplificando:
(x - 2)^2 + (y - 32)^2 = 254

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