Ache a equação do círculo que passa pelos pontos
e a origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um círculo que passa por três pontos específicos:
,
e a origem
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente como determinar a equação geral de um círculo dado três pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um círculo no plano cartesiano é dada por:
Aqui,
é o centro do círculo e
é o raio. Nosso objetivo é encontrar
,
e
.
Passo 3
Como o círculo passa pelos três pontos dados, cada um desses pontos satisfaz a equação do círculo. Vamos substituir cada ponto na equação para criar um sistema de equações:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Vamos simplificar essas três equações:
Agora, vamos usar a terceira equação para eliminar
das outras duas.
Passo 5
Subtraindo a terceira equação da primeira:
Expandindo
:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, subtraindo a terceira equação da segunda:
Expandindo
:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos encontrar
usando a terceira equação:
Portanto,
.
Resposta
A equação do círculo é:
Ou, simplificando: