Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre independência linear! O enunciado nos dá três vetores no espaço : , e , e precisamos descobrir se eles são linearmente independentes. Para isso, vamos precisar entender o que é independência linear e usar alguns conceitos de álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Basicamente, um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, a equação só tem a solução .
Passo 3
Para verificar isso com os vetores dados, vamos montar uma equação:
Isso significa que:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. As duas primeiras equações são iguais:
c1 + 2c2 = 0 (1)
A terceira equação é:
c1 + c3 = 0 (2)
Passo 5
Da equação (1), podemos expressar c1 = -2c2 em termos de -2c2 + c3 = 0 implies c3 = 2c2 :
Substituindo esse valor na equação (2):
Passo 6
Agora, temos:
c1 = -2c2 c3 = 2c2
Isso significa que , e não são necessariamente zero, mas estão relacionados entre si. Por exemplo, se , então e .
Passo 7
Como existe uma solução não trivial (onde pelo menos um dos coeficientes não é zero), isso mostra que os vetores não são linearmente independentes.