Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes:
Em R^3,(1,1,1),(2,2,0),(0,0,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre independência linear! O enunciado nos dá três vetores no espaço : , e , e precisamos descobrir se eles são linearmente independentes. Para isso, vamos precisar entender o que é independência linear e usar alguns conceitos de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Basicamente, um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, a equação só tem a solução .

Passo 3

Para verificar isso com os vetores dados, vamos montar uma equação:
c1 (1,1,1) + c2 (2,2,0) + c3 (0,0,1) = (0,0,0)
Isso significa que:
c1 cdot 1 + c2 cdot 2 + c3 cdot 0 = 0 c1 cdot 1 + c2 cdot 2 + c3 cdot 0 = 0 c1 cdot 1 + c2 cdot 0 + c3 cdot 1 = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. As duas primeiras equações são iguais:
c1 + 2c2 = 0 (1)
A terceira equação é:
c1 + c3 = 0 (2)

Passo 5

Da equação (1), podemos expressar c1 = -2c2 em termos de -2c2 + c3 = 0 implies c3 = 2c2 :
Substituindo esse valor na equação (2):

Passo 6

Agora, temos:
c1 = -2c2 c3 = 2c2
Isso significa que , e não são necessariamente zero, mas estão relacionados entre si. Por exemplo, se , então e .

Passo 7

Como existe uma solução não trivial (onde pelo menos um dos coeficientes não é zero), isso mostra que os vetores não são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores , e não são linearmente independentes.

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