Mostre que as colunas de uma matriz A são linearmente independentes se e só se a característica de é igual ao número de colunas de .

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que as colunas de uma matriz são linearmente independentes se e somente se a característica (ou seja, o posto) de for igual ao número de colunas de . Vamos precisar entender os conceitos de independência linear e posto de uma matriz para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa as colunas de uma matriz serem linearmente independentes. Isso quer dizer que nenhuma coluna pode ser escrita como uma combinação linear das outras colunas. Em outras palavras, a única solução para a combinação é .

Passo 3

Agora, sobre o posto de uma matriz , que é a característica mencionada no exercício. O posto de , denotado por , é o número máximo de colunas linearmente independentes de . Também é igual ao número de pivôs na forma escalonada da matriz.

Passo 4

Vamos começar mostrando que se o posto de é igual ao número de suas colunas, então as colunas são linearmente independentes.
Se (onde é o número de colunas), isso significa que há colunas linearmente independentes. Como o posto é o número máximo de colunas independentes, todas as colunas devem ser independentes umas das outras. Assim, as colunas de são linearmente independentes.

Passo 5

Agora, vamos provar o contrário: se as colunas de são linearmente independentes, então o posto de é igual ao número de colunas.
Se as colunas são linearmente independentes, isso significa que não há nenhuma coluna que pode ser escrita como combinação linear das outras. Portanto, todas as colunas contribuem para o posto da matriz, já que não há redundância. Assim, .

Resposta

Concluímos que as colunas de uma matriz são linearmente independentes se e somente se o posto de for igual ao número de colunas de .

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Identifique, dando o centro e o raio.
Sejam
Encontre:
Ache a equação do círculo que passa pelos pontos e a origem.
Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes: