Ache a equação dos círculos que passam pelos seguintes conjuntos de pontos. Diga qual o centro, o raio e desenhe. (3,4),(-1,2),(-2,4)

Passo 1

Beleza, temos um problema de geometria analítica aqui! Precisamos encontrar a equação de um círculo que passa pelos pontos , e . Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula da equação geral do círculo e usar alguns conceitos de álgebra para encontrar o centro e o raio.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação geral de um círculo no plano cartesiano:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Aqui, é o centro do círculo e é o raio. Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que fazem com que essa equação passe pelos três pontos dados.

Passo 3

Vamos substituir cada um dos pontos na equação do círculo para formar um sistema de equações. Vamos começar com o ponto (3 - h)^2 + (4 - k)^2 = r^2 (1) :
(-1 - h)^2 + (2 - k)^2 = r^2 (2)
Agora, substituímos o ponto (-2 - h)^2 + (4 - k)^2 = r^2 (3) :
E por último, o ponto :

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Subtraindo a equação (2) da equação (1) para eliminar (3 - h)^2 + (4 - k)^2 - [(-1 - h)^2 + (2 - k)^2] = 0 :
(9 - 6h + h^2) + (16 - 8k + k^2) - [1 + 2h + h^2 + 4 - 4k + k^2] = 0
Expandindo os quadrados:
25 - 6h - 8k - 5 - 2h + 4k = 0 Rightarrow -8h -4k +20 =0
Simplificando:
2h + k =5 (4)
Dividindo por -4:

Passo 5

Fazemos o mesmo com as equações (3) e (1). Subtraindo a equação (1) da equação (3):
(-2 - h)^2 + (4 - k)^2 - [(3 - h)^2 + (4 - k)^2] =0
Expandindo:
(4 + 4h + h^2) + (16 -8k +k^2) - [9 -6h +h^2 +16 -8k +k^2] =0
Simplificando:
20 +4h -9 +6h =0 Rightarrow10h +11=0 Rightarrow h = -1110

Passo 6

Agora que temos 2(-1110) + k =5 Rightarrow -2210 +k =5 Rightarrow k=5 + 2210 = 50+2210 = 7210 = 365 , substituímos na equação (4) para encontrar :

Passo 7

Com (3 - (-1110))^2 + (4 - 365)^2 = r^2 e (4110)^2 + (20 - 365)^2 = r^2 Rightarrow 1681100 + 25625 = r^2 encontrados, vamos calcular o raio 256 times 4100 = 1024100 usando a equação (1):
1681 + 1024100 = 2705100 Rightarrow r^2 = 2705100 Rightarrow r = raiz2705100 = raiz270510
Simplificando:
raiz2705 = raiz25 times 108.2 = 5raiz108.2 approx 5 times 10.4 = 52 (aproximadamente)
Convertendo para centésimos:
Somando:
Simplificando a raiz:
Portanto,

Resposta

A equação do círculo que passa pelos pontos (x + 1110)^2 + (y - 365)^2 = (raiz270510)^2 , e é:
O centro do círculo está em e o raio é aproximadamente .
(Infelizmente, não consigo desenhar o círculo aqui, mas com essas informações você pode plotar os pontos e desenhar o círculo no papel ou utilizando um software de geometria.)

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