Ache a equação dos círculos que passam pelos seguintes conjuntos de pontos. Diga qual o centro, o raio e desenhe.
Passo 1
Beleza, temos um problema de geometria analítica aqui! Precisamos encontrar a equação de um círculo que passa pelos pontos , e . Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula da equação geral do círculo e usar alguns conceitos de álgebra para encontrar o centro e o raio.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação geral de um círculo no plano cartesiano:
Aqui, é o centro do círculo e é o raio. Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que fazem com que essa equação passe pelos três pontos dados.
Passo 3
Vamos substituir cada um dos pontos na equação do círculo para formar um sistema de equações. Vamos começar com o ponto :
Agora, substituímos o ponto :
E por último, o ponto :
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. Subtraindo a equação (2) da equação (1) para eliminar :
Expandindo os quadrados:
Simplificando:
Dividindo por -4:
Passo 5
Fazemos o mesmo com as equações (3) e (1). Subtraindo a equação (1) da equação (3):
Expandindo:
Simplificando:
Passo 6
Agora que temos , substituímos na equação (4) para encontrar :
Passo 7
Com e encontrados, vamos calcular o raio usando a equação (1):
Simplificando:
Convertendo para centésimos:
Somando:
Simplificando a raiz:
Portanto,
Resposta
A equação do círculo que passa pelos pontos , e é:
O centro do círculo está em e o raio é aproximadamente .
(Infelizmente, não consigo desenhar o círculo aqui, mas com essas informações você pode plotar os pontos e desenhar o círculo no papel ou utilizando um software de geometria.)