Se é uma matriz triangular superior o que se pode dizer sobre ? E se for diagonal?
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para analisarmos o que acontece com a transposta de uma matriz triangular superior, e também quando a matriz é diagonal. Vamos usar conceitos de matrizes e suas propriedades para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz triangular superior. É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Por exemplo:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a transposta de uma matriz, denotada por A^T = a11 & 0 & 0 a12 & a22 & 0 a13 & a23 & a33 . Transpor uma matriz significa trocar suas linhas por colunas. Então, a transposta de seria:
Passo 4
Observando , vemos que agora todos os elementos acima da diagonal principal são zero. Isso faz de uma matriz triangular inferior. Portanto, a transposta de uma matriz triangular superior é triangular inferior.
Passo 5
Agora, vamos pensar na situação especial em que D = d11 & 0 & 0 0 & d22 & 0 0 & 0 & d33 é uma matriz diagonal. Uma matriz diagonal é uma matriz triangular superior e inferior ao mesmo tempo, pois todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Por exemplo:
Passo 6
Se transpusermos uma matriz diagonal D^T = d11 & 0 & 0 0 & d22 & 0 0 & 0 & d33 = D , como todos os elementos fora da diagonal são zero, a transposta também será:
Portanto, a transposta de uma matriz diagonal é ela mesma uma matriz diagonal.
Resposta
A transposta de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular inferior. Além disso, se for diagonal, então também será uma matriz diagonal.