Se A é uma matriz triangular superior o que se pode dizer sobre A^T ? E se A for diagonal?

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para analisarmos o que acontece com a transposta de uma matriz triangular superior, e também quando a matriz é diagonal. Vamos usar conceitos de matrizes e suas propriedades para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz triangular superior. É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Por exemplo:
A = a11 & a12 & a13 0 & a22 & a23 0 & 0 & a33

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a transposta de uma matriz, denotada por A^T = a11 & 0 & 0 a12 & a22 & 0 a13 & a23 & a33 . Transpor uma matriz significa trocar suas linhas por colunas. Então, a transposta de seria:

Passo 4

Observando , vemos que agora todos os elementos acima da diagonal principal são zero. Isso faz de uma matriz triangular inferior. Portanto, a transposta de uma matriz triangular superior é triangular inferior.

Passo 5

Agora, vamos pensar na situação especial em que D = d11 & 0 & 0 0 & d22 & 0 0 & 0 & d33 é uma matriz diagonal. Uma matriz diagonal é uma matriz triangular superior e inferior ao mesmo tempo, pois todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Por exemplo:

Passo 6

Se transpusermos uma matriz diagonal D^T = d11 & 0 & 0 0 & d22 & 0 0 & 0 & d33 = D , como todos os elementos fora da diagonal são zero, a transposta também será:
Portanto, a transposta de uma matriz diagonal é ela mesma uma matriz diagonal.

Resposta

A transposta de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular inferior. Além disso, se for diagonal, então também será uma matriz diagonal.

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