Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes:
Em R^4,(1,0,-1,0),(4,0,-3,1),(2,0,-1,1);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão quer é descobrir se o conjunto de três vetores (1,0,-1,0), (4,0,-3,1), (2,0,-1,1) em R^4 é linearmente independente ou não. Para isso, vamos usar o conceito de independência linear, que nos ajuda a saber se algum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Se não conseguir, o conjunto é independente; se conseguir, é dependente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como testar a independência linear. Suponha que temos vetores v1, v2, v3, e queremos ver se existe uma combinação a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 = 0 onde pelo menos um dos coeficientes ai não seja zero. Se a única solução for a1 = a2 = a3 = 0, então os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos montar uma matriz com os vetores como colunas e resolver o sistema homogêneo correspondente:
1 & 4 & 2 0 & 0 & 0 -1 & -3 & -1 0 & 1 & 1
Queremos encontrar os coeficientes a1, a2, a3 tais que:
1a1 + 4a2 + 2a3 = 0 0a1 + 0a2 + 0a3 = 0 -1a1 -3a2 -1a3 = 0 0a1 + 1a2 + 1a3 = 0

Passo 4

Vamos simplificar o sistema. Da segunda equação, nada aprendemos, então focamos nas outras:
  1. a1 + 4a2 + 2a3 = 0 \
  2. -a1 -3a2 -a3 = 0 \
  3. a2 + a3 = 0 \
Da terceira equação, temos que a2 = -a3. Vamos substituir isso nas outras equações.

Passo 5

Substituindo a2 = -a3 na primeira equação:
a1 + 4(-a3) + 2a3 = a1 -4a3 + 2a3 = a1 -2a3 = 0 Rightarrow a1 = 2a3
Na segunda equação:
- a1 -3(-a3) -a3 = -a1 + 3a3 -a3 = -a1 +2a3 = 0
Substituindo a1 = 2a3:
-2a3 + 2a3 = 0
Isso confirma que a única restrição é a1 = 2a3 e a2 = -a3.

Passo 6

Isso significa que existem valores diferentes de zero para a1, a2, a3 que satisfazem o sistema (por exemplo, a3 = 1 leva a a1 = 2 e a2 = -1). Portanto, encontramos uma combinação não trivial que resulta no vetor zero.

Resposta

O conjunto de vetores (1,0,-1,0), (4,0,-3,1), (2,0,-1,1) é linearmente dependente.

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