Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes: ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão quer é descobrir se o conjunto de três vetores em é linearmente independente ou não. Para isso, vamos usar o conceito de independência linear, que nos ajuda a saber se algum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Se não conseguir, o conjunto é independente; se conseguir, é dependente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como testar a independência linear. Suponha que temos vetores , e queremos ver se existe uma combinação onde pelo menos um dos coeficientes não seja zero. Se a única solução for , então os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos montar uma matriz com os vetores como colunas e resolver o sistema homogêneo correspondente:
Queremos encontrar os coeficientes a1, a2, a3 tais que:
Isso confirma que a única restrição é a1 = 2a3 e a2 = -a3.
Passo 6
Isso significa que existem valores diferentes de zero para a1, a2, a3 que satisfazem o sistema (por exemplo, a3 = 1 leva a a1 = 2 e a2 = -1). Portanto, encontramos uma combinação não trivial que resulta no vetor zero.
Resposta
O conjunto de vetores (1,0,-1,0), (4,0,-3,1), (2,0,-1,1) é linearmente dependente.