Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes: ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão quer é descobrir se o conjunto de três vetores em é linearmente independente ou não. Para isso, vamos usar o conceito de independência linear, que nos ajuda a saber se algum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Se não conseguir, o conjunto é independente; se conseguir, é dependente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como testar a independência linear. Suponha que temos vetores , e queremos ver se existe uma combinação onde pelo menos um dos coeficientes não seja zero. Se a única solução for , então os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos montar uma matriz com os vetores como colunas e resolver o sistema homogêneo correspondente:
Queremos encontrar os coeficientes tais que:
Passo 4
Vamos simplificar o sistema. Da segunda equação, nada aprendemos, então focamos nas outras:
\
\
\
Da terceira equação, temos que . Vamos substituir isso nas outras equações.
Passo 5
Substituindo na primeira equação:
Na segunda equação:
Substituindo :
Isso confirma que a única restrição é e .
Passo 6
Isso significa que existem valores diferentes de zero para que satisfazem o sistema (por exemplo, leva a e ). Portanto, encontramos uma combinação não trivial que resulta no vetor zero.