Ache uma equação em coordenadas esféricas cujo gráfico seja o paraboloide .

Passo 1

Beleza! O exercício pede para encontrar uma equação que descreva o paraboloide usando coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas e aplicar essas conversões na equação do paraboloide.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as fórmulas de conversão de coordenadas cartesianas para esféricas:
Aqui, é a distância do ponto até a origem, é o ângulo no plano , e é o ângulo entre o vetor posição e o eixo .

Passo 3

Agora, vamos substituir e na equação do paraboloide pelas expressões em coordenadas esféricas:

Passo 4

Simplificando o lado direito da equação:
Sabemos que , então:

Passo 5

Como tamb��m temos , igualamos as duas expressões para :

Passo 6

Dividimos ambos os lados da equação por (assumindo que ) para simplificar:
Agora, isolamos :

Resposta

A equação em coordenadas esféricas que representa o paraboloide é:

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