Ache uma equação em coordenadas esféricas cujo gráfico seja o paraboloide .
Passo 1
Beleza! O exercício pede para encontrar uma equação que descreva o paraboloide usando coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas e aplicar essas conversões na equação do paraboloide.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as fórmulas de conversão de coordenadas cartesianas para esféricas:
Aqui, é a distância do ponto até a origem, é o ângulo no plano , e é o ângulo entre o vetor posição e o eixo .
Passo 3
Agora, vamos substituir e na equação do paraboloide pelas expressões em coordenadas esféricas:
Passo 4
Simplificando o lado direito da equação:
Sabemos que , então:
Passo 5
Como tamb��m temos , igualamos as duas expressões para :
Passo 6
Dividimos ambos os lados da equação por (assumindo que ) para simplificar:
Agora, isolamos :
Resposta
A equação em coordenadas esféricas que representa o paraboloide é: