Esboce as curvas de nível de
para
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa desenhar as curvas de nível da função
para os valores de
,
,
e
. O conteúdo aqui é de geometria analítica, especificamente sobre curvas de nível. Vamos precisar entender como igualar a função a esses valores de
e resolver para
e
para descobrir a forma das curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
por cada valor de
na equação original:
Assim, para cada
, a gente tem:
Isso simplifica a gente a uma equação de uma cônica, que no caso são elipses, já que os coeficientes de
e
são diferentes e positivos.
Passo 3
Vamos agora dividir ambos os lados da equação por
para deixar a equação na forma padrão da elipse:
Isso nos mostra que a elipse tem semi-eixos de comprimento
no eixo
e
no eixo
.
Passo 4
Agora vamos calcular para cada valor de
:
-
Para
: A elipse tem semi-eixono e 1 no . -
Para
: A elipse tem semi-eixono e no . -
Para
: A elipse tem semi-eixo 1 noe 2 no . -
Para
: A elipse tem semi-eixono e no .
Resposta
As curvas de nível de
para
,
,
e
são elipses com as seguintes equações:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Essas elipses representam os diferentes níveis de
na função dada.
Exercícios relacionados
Ache uma equação em coordenadas esféricas cujo gráfico seja o paraboloide
.
Determine a área compreendida no exterior de
e
e no interior de
. S:
u.a.
Esboce as curvas de nível de
para
e
.
Seja E o sólido limitado por dois planos
lateralmente pelo cone
. Expresse o volume de E como a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Após, expresse esse mesmo volume como uma integral tripla em coordenadas esféricas. Não é necessário calcular as integrais, apenas deixe indicado cada uma delas.