Esboce as curvas de nível de z = 1 + 4 x^2 + y^2 para c=2, c=4, c=5 e c = 8.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa desenhar as curvas de nível da função para os valores de , , e . O conteúdo aqui é de geometria analítica, especificamente sobre curvas de nível. Vamos precisar entender como igualar a função a esses valores de e resolver para e para descobrir a forma das curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir por cada valor de na equação original:
Assim, para cada , a gente tem:
Isso simplifica a gente a uma equação de uma cônica, que no caso são elipses, já que os coeficientes de e são diferentes e positivos.

Passo 3

Vamos agora dividir ambos os lados da equação por para deixar a equação na forma padrão da elipse:
Isso nos mostra que a elipse tem semi-eixos de comprimento no eixo e no eixo .

Passo 4

Agora vamos calcular para cada valor de :
  1. Para :
    A elipse tem semi-eixo no e 1 no .
  2. Para :
    A elipse tem semi-eixo no e no .
  3. Para :
    A elipse tem semi-eixo 1 no e 2 no .
  4. Para :
    A elipse tem semi-eixo no e no .

Resposta

As curvas de nível de para , , e são elipses com as seguintes equações:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :
Essas elipses representam os diferentes níveis de na função dada.

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