Use coordenadas polares para encontrar o volume do sólido dentro do cilindro e o elipsoide

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está dentro do cilindro e também dentro do elipsoide . Para isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para resolver problemas com simetria circular, como esse cilindro. Vamos precisar lembrar de como converter as equações para coordenadas polares e usar cálculo integral para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações do cilindro e do elipsoide para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Substituindo no cilindro :
Então, o raio varia de 0 até 3.

Passo 3

Agora, vamos transformar a equação do elipsoide para coordenadas polares:
Isso simplifica para:
Então, para cada , varia de até .

Passo 4

Vamos montar o integral triplo em coordenadas polares para calcular o volume. O volume é dado por:
Aqui, é o elemento de volume em coordenadas polares.

Passo 5

Vamos resolver o integral interno primeiro, que é em relação a :
Então, o volume fica:

Passo 6

Vamos agora resolver o integral em relação a . Para isso, fazemos uma substituição:
Substituindo na integral:
Integrando :
Calculando e :

Passo 7

Agora, vamos finalizar o integral em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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