Determine a área compreendida no exterior de
e
e no interior de
. S:
u.a.
Passo 1
Vamos resumir o que queremos fazer: precisamos encontrar a área que está fora do círculo de raio
e do cardioide
, mas dentro do círculo de raio
. Para resolver isso, vamos usar geometria polar e integrar as funções que definem essas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos de interseção entre as curvas
e
. Igualando as duas equações:
Resolvendo para
:
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração para encontrar a área desejada. A região que estamos interessados está delimitada por
de
a
, já que essas são as áreas onde
está acima de
.
Passo 4
A fórmula para a área em coordenadas polares é:
Vamos calcular separadamente as áreas sob cada curva e depois subtrair as áreas que não queremos.
Passo 5
Calculando a área dentro de
de
a
:
Passo 6
Calculando a área dentro de
de
a
:
Passo 7
Calculando a área dentro de
de
a
:
Usando a identidade
:
Calculando:
Passo 8
Agora, a área que queremos é a área dentro de
menos as áreas dentro de
e
:
Simplificando:
Resposta
A área compreendida é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Use coordenadas polares para encontrar o volume do sólido dentro do cilindro
e o elipsoide
Expresse a integral
em coordenadas esféricas e calcule a integral obtida.
Ache uma equação em coordenadas esféricas cujo gráfico seja o paraboloide
.
Esboce as curvas de nível de
para
e
.