Determine a área compreendida no exterior de r = 1 e r = 2 cos(θ) e no interior de r = 2. S: (16 pi - 3 raiz(3)) / 6 u.a.

Passo 1

Vamos resumir o que queremos fazer: precisamos encontrar a área que está fora do círculo de raio e do cardioide , mas dentro do círculo de raio . Para resolver isso, vamos usar geometria polar e integrar as funções que definem essas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos de interseção entre as curvas e . Igualando as duas equações:
Resolvendo para :

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para encontrar a área desejada. A região que estamos interessados está delimitada por de a , já que essas são as áreas onde está acima de .

Passo 4

A fórmula para a área em coordenadas polares é:
Vamos calcular separadamente as áreas sob cada curva e depois subtrair as áreas que não queremos.

Passo 5

Calculando a área dentro de de a :

Passo 6

Calculando a área dentro de de a :

Passo 7

Calculando a área dentro de de a :
Usando a identidade :
Calculando:

Passo 8

Agora, a área que queremos é a área dentro de menos as áreas dentro de e :
Simplificando:

Resposta

A área compreendida é unidades de área.

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