Ache a equação diferencial cuja solução geral é y(t) = c1 e^(-t / 2) + c2 e^(-2 t).
Resp: 2y'' + 5y' + 2y = 0.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar uma equação diferencial cuja solução geral seja . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de segunda ordem, onde as soluções envolvem exponenciais com os coeficientes determinados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a equação diferencial a partir da solução geral, precisamos identificar os autovalores da equação característica associada.
A solução geral dada é uma combinação linear de duas funções exponenciais:
Isso sugere que os autovalores (ou raízes da equação característica) são e .

Passo 3

A partir dos autovalores, podemos montar a equação característica. Para uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes, a equação característica tem a forma:
Onde , e são coeficientes que queremos encontrar.
Sabendo que as raízes são e , a equação pode ser escrita como:

Passo 4

Substituindo os valores dos autovalores:

Passo 5

Vamos expandir essa expressão:

Passo 6

Agora, multiplicamos toda a equação por 2 para eliminar o denominador:

Passo 7

Essa é a equação característica. Portanto, a equação diferencial correspondente é:

Resposta

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