Ache a equação diferencial cuja solução geral é
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Resp:
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Resp:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar uma equação diferencial cuja solução geral seja
. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de segunda ordem, onde as soluções envolvem exponenciais com os coeficientes determinados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a equação diferencial a partir da solução geral, precisamos identificar os autovalores da equação característica associada.
A solução geral dada é uma combinação linear de duas funções exponenciais:
Isso sugere que os autovalores (ou raízes da equação característica) são
e
.
Passo 3
A partir dos autovalores, podemos montar a equação característica. Para uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes, a equação característica tem a forma:
Onde
,
e
são coeficientes que queremos encontrar.
Sabendo que as raízes são
e
, a equação pode ser escrita como:
Passo 4
Substituindo os valores dos autovalores:
Passo 5
Vamos expandir essa expressão:
Passo 6
Agora, multiplicamos toda a equação por 2 para eliminar o denominador:
Passo 7
Essa é a equação característica. Portanto, a equação diferencial correspondente é: