Considere o problema de valor inicial:
4 y'' + 4 y' + y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 2
© Mude a segunda condição inicial para y'(0) = b > 0 e ache a solução dependente de b.
Resp: y = e^(-x / 2) + (2*b + 1) / 2 * x * e^(-x / 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo envolve Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes e Condições Iniciais. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e aplicar as condições iniciais para determinar os coeficientes, especialmente quando a segunda condição inicial é .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea . Para isso, encontramos a equação característica associada:

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática para r:
O discriminante ( ) indica que temos uma raiz real dupla .

Passo 4

Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação diferencial é:

Passo 5

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de e . A primeira condição é y(0) = 1:

Passo 6

A segunda condição é . Primeiro, precisamos calcular a derivada de y(x):
Simplificando:

Passo 7

Aplicando x = 0 na derivada:
Substituindo e :

Passo 8

Agora, substituímos e na solução geral:
Podemos reescrever de forma mais organizada:

Resposta

Exercícios relacionados