Considere o problema de valor inicial:
© Mude a segunda condição inicial para
e ache a solução dependente de b.
Resp:
.
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo envolve Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes e Condições Iniciais. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e aplicar as condições iniciais para determinar os coeficientes, especialmente quando a segunda condição inicial é
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea
. Para isso, encontramos a equação característica associada:
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática para
:
O discriminante (
) indica que temos uma raiz real dupla
.
Passo 4
Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação diferencial é:
Passo 5
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de
e
. A primeira condição é
:
Passo 6
A segunda condição é
. Primeiro, precisamos calcular a derivada de
:
Simplificando:
Passo 7
Aplicando
na derivada:
Substituindo
e
:
Passo 8
Agora, substituímos
e
na solução geral:
Podemos reescrever de forma mais organizada: