Considere o problema de valor inicial:
4y'' + 12y' + 9y = 0, y(0) = 1, y'(0) = -4
© Determine as coordenadas (x0, y0) do ponto de mínimo.Resp: x0 = 16 / 15 e y0 = -5/3 e^(-8/5).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais e pede para encontrar as coordenadas do ponto de mínimo. A matéria aqui envolve resolver equações diferenciais lineares homogêneas e analisar a função resultante para encontrar seu ponto mínimo. Vamos precisar saber resolver equações diferenciais e entender como encontrar o mínimo de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial:
Para resolver essa equação homogênea, vamos encontrar a equação característica associada. A equação característica é:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Aqui, , e . Substituindo:

Passo 4

Encontramos uma raiz dupla . Isso significa que a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais:
Primeiro, para :

Passo 6

Agora, vamos encontrar :
Aplicando :

Passo 7

Agora que temos e , a solução completa é:

Passo 8

Para encontrar o ponto de mínimo, precisamos encontrar onde a derivada .
Já temos a expressão para , então igualamos a zero:
Como nunca é zero, focamos na parte dentro dos parênteses:

Passo 9

Resolvendo a equação:

Passo 10

Agora, encontramos . Vamos substituir esse valor na função para encontrar :

Resposta

Então, as coordenadas do ponto de mínimo são e .

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