Considere o problema de valor inicial:
© Determine as coordenadas
do ponto de mínimo.Resp:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais e pede para encontrar as coordenadas do ponto de mínimo. A matéria aqui envolve resolver equações diferenciais lineares homogêneas e analisar a função resultante para encontrar seu ponto mínimo. Vamos precisar saber resolver equações diferenciais e entender como encontrar o mínimo de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial:
Para resolver essa equação homogênea, vamos encontrar a equação característica associada. A equação característica é:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Passo 4
Encontramos uma raiz dupla
. Isso significa que a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais:
Primeiro, para
:
Passo 6
Agora, vamos encontrar
:
Aplicando
:
Passo 7
Agora que temos
e
, a solução completa é:
Passo 8
Para encontrar o ponto de mínimo, precisamos encontrar
onde a derivada
.
Já temos a expressão para
, então igualamos a zero:
Como
nunca é zero, focamos na parte dentro dos parênteses:
Passo 9
Resolvendo a equação:
Passo 10
Agora, encontramos
. Vamos substituir esse valor na função
para encontrar
:
Resposta
Então, as coordenadas do ponto de mínimo são
e
.