Ache a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
y'' + y' + 1.25 y = 0, y(0) = 3, y'(0) = 1.
Resp: y = 3 e^(-x / 2) cos(x) + 5/2 e^(-x / 2) sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
E também as condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma:
A equação característica é:
No nosso caso, e , então a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Substituindo:

Passo 4

A raiz quadrada de um número negativo envolve números complexos. Então, temos:
Portanto, os valores de r são:

Passo 5

Quando as raízes são complexas, da forma , a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso, e , então:

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeiro, para x = 0:
Então, .

Passo 7

Em seguida, precisamos encontrar para aplicar a segunda condição inicial .
Derivando y(x):
Simplificando:
Agora, avaliando em x = 0:

Passo 8

Com os valores de e encontrados, substituímos de volta na solução geral:
Podemos reescrever isso de forma mais organizada:

Resposta

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