Ache a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
.
Resp:
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
E também as condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma:
A equação característica é:
No nosso caso,
e
, então a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Substituindo:
Passo 4
A raiz quadrada de um número negativo envolve números complexos. Então, temos:
Portanto, os valores de
são:
Passo 5
Quando as raízes são complexas, da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, para
:
Então,
.
Passo 7
Em seguida, precisamos encontrar
para aplicar a segunda condição inicial
.
Derivando
:
Simplificando:
Agora, avaliando em
:
Passo 8
Com os valores de
e
encontrados, substituímos de volta na solução geral:
Podemos reescrever isso de forma mais organizada: