Determine a transformada de Fourier das seguintes funções f: R -> R
© f(x) = x * e^(-x^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Transformada de Fourier, que faz parte do estudo de Análise de Sinais e Sistemas. A gente precisa encontrar a transformada da função . Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades básicas da Transformada de Fourier e como ela se aplica a funções envolvendo polinômios vezes exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Fourier. Basicamente, ela transforma uma função no domínio do tempo (ou espaço) para o domínio das frequências. A fórmula geral da Transformada de Fourier para uma função é:

Passo 3

Agora, vamos analisar a função que queremos transformar: . Note que ela é um produto de por uma função gaussiana . Sabemos que a transformada da função gaussiana é bem conhecida, então podemos usar uma propriedade da Transformada de Fourier que nos ajudará a lidar com o termo .

Passo 4

A propriedade que vamos usar é a seguinte: se temos , então a transformada de é dada por:
Essa propriedade nos diz que multiplicar a função no domínio do tempo por corresponde a multiplicar a transformada por e derivar em relação a .

Passo 5

Vamos aplicar essa propriedade à nossa função. Primeiro, encontramos a transformada de . Sabemos que:

Passo 6

Agora, usando a propriedade que mencionamos, a transformada de será:

Passo 7

Vamos calcular a derivada dentro da expressão:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da transformada:

Passo 9

Simplificando, temos:

Resposta

A transformada de Fourier da função é:

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