Determine a transformada de Fourier das seguintes funções
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Transformada de Fourier, que faz parte do estudo de Análise de Sinais e Sistemas. A gente precisa encontrar a transformada da função
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades básicas da Transformada de Fourier e como ela se aplica a funções envolvendo polinômios vezes exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Fourier. Basicamente, ela transforma uma função no domínio do tempo (ou espaço) para o domínio das frequências. A fórmula geral da Transformada de Fourier para uma função
é:
Passo 3
Agora, vamos analisar a função que queremos transformar:
. Note que ela é um produto de
por uma função gaussiana
. Sabemos que a transformada da função gaussiana é bem conhecida, então podemos usar uma propriedade da Transformada de Fourier que nos ajudará a lidar com o termo
.
Passo 4
A propriedade que vamos usar é a seguinte: se temos
, então a transformada de
é dada por:
Essa propriedade nos diz que multiplicar a função no domínio do tempo por
corresponde a multiplicar a transformada por
e derivar em relação a
.
Passo 5
Vamos aplicar essa propriedade à nossa função. Primeiro, encontramos a transformada de
. Sabemos que:
Passo 6
Agora, usando a propriedade que mencionamos, a transformada de
será:
Passo 7
Vamos calcular a derivada dentro da expressão:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da transformada:
Passo 9
Simplificando, temos:
Resposta
A transformada de Fourier da função
é: