Ache uma equação geral do plano sigma que passa pelo ponto P=(1,0,0) e contém a reta r:x=2, y=lambda, z=2+lambda,(lambda in R).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação geral de um plano sigma que passa pelo ponto P=(1,0,0) e contém a reta r:x=2, y=lambda, z=2+lambda. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como identificar vetores que estão no plano e como encontrar um vetor normal a ele para montar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto que está na reta r. Observando a equação paramétrica da reta, podemos escolher um valor específico para lambda. Vamos escolher lambda = 0 para facilitar. Substituindo na reta:
x = 2, y = 0, z = 2 + 0 = 2
Então, um ponto na reta r é A = (2, 0, 2).

Passo 3

Agora, sabemos que o plano sigma contém tanto o ponto P=(1,0,0) quanto todos os pontos da reta r, incluindo o ponto A=(2,0,2). Vamos encontrar dois vetores que estão no plano sigma.
Primeiro, o vetor que vai de P até A:
PA = A - P = (2-1, 0-0, 2-0) = (1, 0, 2)
Segundo, precisamos de um vetor que represente a direção da reta r. Observando as equações paramétricas da reta:
x = 2, y = lambda, z = 2 + lambda
Podemos ver que o vetor diretor da reta r é v = (0, 1, 1).

Passo 4

Com os dois vetores PA = (1, 0, 2) e v = (0, 1, 1) que estão no plano sigma, podemos encontrar um vetor normal ao plano utilizando o produto vetorial desses dois vetores.
n = PA times v = i & j & k 1 & 0 & 2 0 & 1 & 1
Calculando o determinante:
n = i(0 cdot 1 - 2 cdot 1) - j(1 cdot 1 - 2 cdot 0) + k(1 cdot 1 - 0 cdot 0) = (-2)i - (1)j + (1)k = (-2, -1, 1)

Passo 5

Agora que temos o vetor normal n = (-2, -1, 1), podemos usar a equação geral do plano:
n cdot (X - P) = 0
Onde X = (x, y, z) é um ponto qualquer no plano e P = (1, 0, 0) é o ponto pelo qual o plano passa. Substituindo:
(-2, -1, 1) cdot ((x, y, z) - (1, 0, 0)) = 0
Fazendo a subtração dentro do parênteses:
(-2, -1, 1) cdot (x - 1, y, z) = 0
Calculando o produto escalar:
-2(x - 1) -1(y) +1(z) = 0
Distribuindo os termos:
-2x + 2 - y + z = 0

Resposta

A equação geral do plano sigma é:
-2x - y + z + 2 = 0

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