Dado um tetraedro ABCD explique por que os vetores A B, A C, A D formam uma base para o espaço.

Passo 1

Então, temos um tetraedro ABCD e queremos entender por que os vetores , e formam uma base para o espaço. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como bases e independência linear, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base em álgebra linear. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, estamos falando do espaço tridimensional .

Passo 3

Para que os vetores , e formem uma base, precisamos mostrar duas coisas:
  1. Independência Linear: Nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
  2. Geração do Espaço: Qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação desses três vetores.

Passo 4

Vamos começar com a independência linear. Imagine se houvesse números k1 AB + k2 AC + k3 AD = 0 , e tais que:
Precisamos mostrar que a única solução para isso é . Como o tetraedro não é degenerado (ou seja, os pontos não estão em um mesmo plano), isso garante que os vetores não estão na mesma direção ou plano, o que significa que a única solução possível é essa.

Passo 5

Agora, sobre a geração do espaço. Como temos três vetores que são linearmente independentes em , eles automaticamente geram todo o espaço tridimensional. Isso porque qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação dos três vetores da base.

Resposta

Portanto, os vetores , e são linearmente independentes e geram todo o espaço tridimensional, formando assim uma base para o espaço.

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