Sejam os pontos e .
a) Mostre que os pontos e C determinam um triângulo;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no espaço tridimensional: , e . A pergunta é para mostrar que esses três pontos formam um triângulo. Isso envolve usar conceitos de geometria analítica, especificamente trabalhando com vetores para verificar se os pontos não estão todos na mesma linha reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores que ligam esses pontos. Vamos calcular o vetor , que vai de A para B, e o vetor , que vai de A para C.
A fórmula para encontrar o vetor entre dois pontos é:
Então,
E para o vetor :
Passo 3
Agora, vamos verificar se esses dois vetores são colineares, ou seja, se um é múltiplo do outro. Se forem, os pontos estariam na mesma linha reta e, portanto, não formariam um triângulo.
Para ver se e são colineares, precisamos ver se existe um número real tal que:
Então, temos as equações:
Da primeira equação, vemos que , o que não é possível a menos que seja infinito, o que não faz sentido. Portanto, não existe esse que satisfaça todas as três equações simultaneamente.
Resposta
Como os vetores e não são colineares, os pontos , e não estão na mesma linha reta e, portanto, determinam um triângulo.