Sejam os pontos A(1,3,-1), B(5,-6,2) e C(1,-1,2).
a) Mostre que os pontos A, B e C determinam um triângulo;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no espaço tridimensional: A(1,3,-1), B(5,-6,2) e C(1,-1,2). A pergunta é para mostrar que esses três pontos formam um triângulo. Isso envolve usar conceitos de geometria analítica, especificamente trabalhando com vetores para verificar se os pontos não estão todos na mesma linha reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que ligam esses pontos. Vamos calcular o vetor AB, que vai de A para B, e o vetor AC, que vai de A para C.
A fórmula para encontrar o vetor entre dois pontos é:
AB = B - A = (xB - xA, yB - yA, zB - zA)
Então,
AB = (5 - 1, -6 - 3, 2 - (-1)) = (4, -9, 3)
E para o vetor AC:
AC = (1 - 1, -1 - 3, 2 - (-1)) = (0, -4, 3)

Passo 3

Agora, vamos verificar se esses dois vetores são colineares, ou seja, se um é múltiplo do outro. Se forem, os pontos estariam na mesma linha reta e, portanto, não formariam um triângulo.
Para ver se AB e AC são colineares, precisamos ver se existe um número real k tal que:
AB = k cdot AC
Então, temos as equações:
4 = 0 cdot k -9 = -4 cdot k 3 = 3 cdot k
Da primeira equação, vemos que 4 = 0 cdot k, o que não é possível a menos que k seja infinito, o que não faz sentido. Portanto, não existe esse k que satisfaça todas as três equações simultaneamente.

Resposta

Como os vetores AB e AC não são colineares, os pontos A, B e C não estão na mesma linha reta e, portanto, determinam um triângulo.

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