Os pontos P e Q dividem os lados CA e C B de um triângulo triang<= A B C de modo que
|CP||PA|=x1-x, |CQ||QB|=y1-y
Prove que se P Q=lambda A B então x=y=lambda.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um triângulo triang<= ABC e dois pontos, P e Q, que dividem os lados CA e CB de maneira que:
|CP||PA|=x1-x, |CQ||QB|=y1-y
A gente precisa provar que, se o vetor PQ for igual a lambda vezes o vetor AB, então x = y = lambda. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e divisão de segmentos.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar as posições dos pontos P e Q usando vetores. No triângulo, podemos considerar o ponto C como origem. Então, os vetores CA e CB representam os lados do triângulo.
Para dividir o lado CA no ponto P, usamos a razão dada:
CP = xx + (1 - x) CA = x CA
Similarmente, para o ponto Q no lado CB:
CQ = y CB

Passo 3

Agora, queremos encontrar o vetor PQ. Sabemos que:
PQ = Q - P = CQ - CP
Substituindo as expressões que encontramos:
PQ = y CB - x CA

Passo 4

Sabemos também que AB = B - A = CB - CA. Então:
AB = CB - CA

Passo 5

A condição dada na questão é que PQ = lambda AB. Vamos igualar as duas expressões:
y CB - x CA = lambda (CB - CA)

Passo 6

Agora, vamos distribuir o lambda do lado direito:
y CB - x CA = lambda CB - lambda CA

Passo 7

Para que essa igualdade seja verdadeira, os coeficientes dos vetores CB e CA devem ser iguais em ambos os lados. Então, temos:
y = lambda e -x = -lambda
Ou seja:
y = lambda e x = lambda

Resposta

Portanto, mostramos que x = y = lambda.

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a) Mostre que os pontos A, B e C determinam um triângulo;
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Sejam u e v dois vetores l.i., r a reta que passa pelo ponto A e é paralela ao vetor u e s a reta que passa pelo ponto B é paralela ao vetor v. Uma vez que (u, v, u wed>= v) é base para V^3, temos que existem alpha, beta, gamma in R tais que A B=alpha u+beta v+gamma u wed>= v. Mostre que:
(1) gamma=[A B, u, v]|u wed>= v|^2 e gamma u wed>= v=proju wed>= v A B
(2) se P=A+alpha u e Q=B-beta v, então P in r, Q in s e P Q é ortogonal a r e s.
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