Os pontos P e Q dividem os lados CA e de um triângulo de modo que
Prove que se P Q=lambda A B então x=y=lambda.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um triângulo triang<= ABC e dois pontos, P e Q, que dividem os lados CA e CB de maneira que:
|CP||PA|=x1-x, |CQ||QB|=y1-y
A gente precisa provar que, se o vetor PQ for igual a lambda vezes o vetor AB, então x = y = lambda. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e divisão de segmentos.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar as posições dos pontos P e Q usando vetores. No triângulo, podemos considerar o ponto C como origem. Então, os vetores CA e CB representam os lados do triângulo.
Para dividir o lado CA no ponto P, usamos a razão dada:
CP = xx + (1 - x) CA = x CA
Similarmente, para o ponto Q no lado CB:
CQ = y CB
Passo 3
Agora, queremos encontrar o vetor PQ. Sabemos que:
PQ = Q - P = CQ - CP
Substituindo as expressões que encontramos:
PQ = y CB - x CA
Passo 4
Sabemos também que AB = B - A = CB - CA. Então:
AB = CB - CA
Passo 5
A condição dada na questão é que PQ = lambda AB. Vamos igualar as duas expressões:
y CB - x CA = lambda (CB - CA)
Passo 6
Agora, vamos distribuir o lambda do lado direito:
y CB - x CA = lambda CB - lambda CA
Passo 7
Para que essa igualdade seja verdadeira, os coeficientes dos vetores CB e CA devem ser iguais em ambos os lados. Então, temos: