Ache a equação do plano que passa por P(2,-1,2) e é paralelo às retas r:cx=t y=2-t z=7+t e
s:l x=1+t y=5-t z=6+2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e é paralelo às retas e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e vetores diretores de retas. Precisaremos encontrar um vetor normal ao plano e, com isso, formular a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas x = t y = 2 - t z = 7 + t e 1 -1 1 . As equações paramétricas dessas retas são:
Para a reta x = 1 + t y = 5 - t z = 6 + 2t :
1 -1 2
O vetor diretor de é .
Para a reta :
O vetor diretor de é .

Passo 3

Como o plano é paralelo às retas n = i & j & k 1 & -1 & 1 1 & -1 & 2 = i ( (-1)(2) - (1)(-1) ) - j ( (1)(2) - (1)(1) ) + k ( (1)(-1) - (1)(-1) ) e = i (-2 + 1) - j (2 - 1) + k (-1 + 1) , os vetores diretores = i (-1) - j (1) + k (0) e n = -1 -1 0 estão contidos no plano. Para encontrar o vetor normal ao plano ( ), podemos calcular o produto vetorial desses dois vetores diretores. O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular a ambos.
Calculando :

Passo 4

Agora que temos o vetor normal -1 -1 0 , podemos usar a equação geral do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde a b c e -1(x - 2) -1(y + 1) + 0(z - 2) = 0 é o ponto pelo qual o plano passa, que no caso é .
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
-1(x - 2) -1(y + 1) = 0
- x + 2 - y - 1 = 0
- x - y + 1 = 0
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para deixar a equação mais convencional:
x + y - 1 = 0

Resposta

A equação do plano é .

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