Determinar a equação do plano que passa pelo ponto M(1,2,-3) e que é paralelo às seguintes retas:
r: x-12=y+1-3=z-73 e s: x+53=y-2-2=z+3-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e que é paralelo às retas dadas e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre planos e retas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas r: x - 12 = y + 1-3 = z - 73 e s: x + 53 = y - 2-2 = z + 3-1 . As equações das retas estão na forma paramétrica:
vr = 2 -3 3 , vs = 3 -2 -1
Os coeficientes dos denominadores nos mostram os vetores diretores dessas retas. Então:

Passo 3

Como o plano é paralelo às retas n = vr times vs e , os vetores diretores e são paralelos ao plano. Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ( ) a esse plano.
Para encontrar , vamos calcular o produto vetorial dos vetores e :

Passo 4

Calculando o produto vetorial:
n = i & j & k 2 & -3 & 3 3 & -2 & -1
n = i((-3)(-1) - (3)(-2)) - j((2)(-1) - (3)(3)) + k((2)(-2) - (-3)(3))
n = i(3 + 6) - j(-2 - 9) + k(-4 + 9)
n = 9i + 11j + 5k
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 5

Agora que temos o vetor normal nx(x - x0) + ny(y - y0) + nz(z - z0) = 0 e um ponto que pertence ao plano, podemos usar a equação geral do plano:
Onde é o ponto dado e são as componentes do vetor normal.

Resposta

Substituindo os valores:
9(x - 1) + 11(y - 2) + 5(z + 3) = 0
Simplificando:
9x - 9 + 11y - 22 + 5z + 15 = 0
9x + 11y + 5z - 16 = 0
Portanto, a equação do plano é:
9x + 11y + 5z = 16

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