Estude a posição relativa dos planos e , de acordo com os valores possíveis de .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos dois planos: o primeiro, , está definido pela equação . O segundo, , está descrito de forma paramétrica como , onde e são números reais. Nosso objetivo é entender como esses dois planos se relacionam dependendo do valor de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores normais e verificar se os planos são paralelos, coincidentes ou se intersectam.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é perpendicular a ele e nos ajuda a entender a orientação do plano no espaço.
Para , a equação geral do plano é . Os coeficientes de , e nos dão o vetor normal:
Passo 3
Agora, vamos determinar o vetor normal de . Como está dada de forma paramétrica, os vetores que multiplicam e são diretores do plano. Ou seja, temos:
Para encontrar o vetor normal , fazemos o produto vetorial desses dois vetores:
Vamos calcular isso passo a passo:
Passo 4
Agora que temos os vetores normais n2 = k cdot n1 e (m, -m, -3) = k cdot (2, 1, 3) , vamos verificar se eles são proporcionais. Se os vetores normais forem múltiplos um do outro, os planos serão paralelos ou coincidentes. Caso contrário, os planos se intersectam.
Para os vetores serem proporcionais, deve existir um número m = 2k -m = k -3 = 3k tal que:
Ou seja:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver o sistema:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Verificando na segunda equação: e . Aqui não temos igualdade, já que .
Isso significa que não existe um único valor de que satisfaça todas as equações simultaneamente. Portanto, os vetores normais e não são proporcionais para nenhum valor de .
Passo 6
Como os vetores normais não são proporcionais para nenhum valor de , concluímos que os planos e não são paralelos. Quando planos não são paralelos, eles necessariamente se intersectam ao longo de uma linha.
Resposta
Independente do valor de , os planos e sempre se intersectam ao longo de uma linha.