Note que dois planos transversais têm como interseção uma reta. Assim sendo, dados
e
, verifique que eles são transversais e encontre a reta
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois planos,
e
. O exercício pede pra gente verificar se esses planos são transversais, ou seja, se eles se cruzam formando uma reta. Além disso, precisamos encontrar essa reta de interseção, que a gente chama de
. Para resolver isso, vamos usar vetores normais dos planos e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores normais dos planos. O vetor normal de um plano da forma
é dado por
. Então:
- Para
, o vetor normal é . - Para
, o vetor normal é .
Passo 3
Agora, para verificar se os planos são transversais, ou seja, se não são paralelos, a gente verifica se os vetores normais não são múltiplos um do outro. Se não forem múltiplos, os planos se intersectam em uma reta.
Vamos ver:
Claro que um não é múltiplo do outro, então os planos são transversais.
Passo 4
Agora que sabemos que os planos se cruzam em uma reta, vamos encontrar essa reta de interseção. Para isso, vamos resolver o sistema de equações formado pelos dois planos:
Vamos resolver esse sistema. Podemos subtrair a equação (2) da equação (1) para eliminar
:
Agora, podemos expressar
em termos de
:
Vamos chamar
, onde
é um parâmetro real. Então temos:
Agora, substituímos esses valores na equação (2) para encontrar
:
Resposta
A reta de interseção dos planos
e
é dada por: