Note que dois planos transversais têm como interseção uma reta. Assim sendo, dados pi1: 2 x+y+z=0 e pi2: x+y-z+3=0, verifique que eles são transversais e encontre a reta r=pi1 cap pi2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois planos, pi1: 2x + y + z = 0 e pi2: x + y - z + 3 = 0. O exercício pede pra gente verificar se esses planos são transversais, ou seja, se eles se cruzam formando uma reta. Além disso, precisamos encontrar essa reta de interseção, que a gente chama de r = pi1 cap pi2. Para resolver isso, vamos usar vetores normais dos planos e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores normais dos planos. O vetor normal de um plano da forma Ax + By + Cz + D = 0 é dado por (A, B, C). Então:
  • Para pi1, o vetor normal é n1 = (2, 1, 1).
  • Para pi2, o vetor normal é n2 = (1, 1, -1).

Passo 3

Agora, para verificar se os planos são transversais, ou seja, se não são paralelos, a gente verifica se os vetores normais não são múltiplos um do outro. Se não forem múltiplos, os planos se intersectam em uma reta.
Vamos ver:
n1 = (2, 1, 1) e n2 = (1, 1, -1)
Claro que um não é múltiplo do outro, então os planos são transversais.

Passo 4

Agora que sabemos que os planos se cruzam em uma reta, vamos encontrar essa reta de interseção. Para isso, vamos resolver o sistema de equações formado pelos dois planos:
2x + y + z = 0 (1) x + y - z + 3 = 0 (2)
Vamos resolver esse sistema. Podemos subtrair a equação (2) da equação (1) para eliminar y:
(2x + y + z) - (x + y - z + 3) = 0 - 0 2x + y + z - x - y + z - 3 = 0 x + 2z - 3 = 0 (3)
Agora, podemos expressar x em termos de z:
x = 3 - 2z
Vamos chamar z = t, onde t é um parâmetro real. Então temos:
x = 3 - 2t z = t
Agora, substituímos esses valores na equação (2) para encontrar y:
(3 - 2t) + y - t + 3 = 0 3 - 2t + y - t + 3 = 0 y - 3t + 6 = 0 y = 3t - 6

Resposta

A reta de interseção dos planos pi1 e pi2 é dada por:
r(t) = ( 3 - 2t,; 3t - 6,; t ), t in R

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