Considere a pirâmide ABCDE cuja base ABCD é um quadrado de lado 12 m e cada aresta lateral mede 12 m . Suponha que o centro do quadrado A B C D seja a origem O(0,0,0) do sistema de coordenadas e que o ponto A esteja sobre o eixo x positivo. Determine as equações dos planos que contêm cada uma das faces laterais da pirâmide.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma pirâmide ABCDE com base quadrada ABCD de lado 12 metros. Cada aresta lateral também mede 12 metros. A base está posicionada de forma que o centro do quadrado A B C D é a origem do sistema de coordenadas (0,0,0) e o ponto A está no eixo positivo do x. Nosso objetivo aqui é determinar as equações dos planos que contêm cada uma das faces laterais da pirâmide. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre coordenadas no espaço, vetores e equações de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar as coordenadas de todos os vértices da pirâmide. Sabemos que a base é um quadrado com lado 12 metros e está centrada na origem.
Como o lado do quadrado é 12 m, cada metade do lado é 6 m. Então, as coordenadas dos vértices da base serão:
  • Ponto A: (6, 0, 0) – está no eixo positivo do x.
  • Ponto B: (0, 6, 0)
  • Ponto C: (-6, 0, 0)
  • Ponto D: (0, -6, 0)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as coordenadas do vértice superior E da pirâmide. Sabemos que cada aresta lateral tem 12 metros. A distância de E a cada vértice da base deve ser 12 m.
Vamos considerar que E tem coordenadas (0, 0, h), já que está acima do centro da base. Usando a fórmula da distância entre dois pontos no espaço, temos:
raiz(6-0)^2 + (0-0)^2 + (0 - h)^2 = 12
Simplificando:
raiz36 + h^2 = 12
Elevando ambos os lados ao quadrado:
36 + h^2 = 144
h^2 = 108
h = raiz108 = 6raiz3
Então, as coordenadas de E são (0, 0, 6√3).

Passo 4

Agora que temos todas as coordenadas dos vértices, podemos determinar as equações dos planos das faces laterais.
Cada face lateral é um triângulo formado por E e dois vértices adjacentes da base. Por exemplo, a face EAB é formada por E, A e B.
Para encontrar a equação de um plano que passa por três pontos, podemos usar o seguinte método:
  1. Encontrar dois vetores no plano.
  2. Calcular o produto vetorial desses vetores para obter o vetor normal ao plano.
  3. Usar a equação do plano com o vetor normal e um dos pontos.

Passo 5

Vamos começar com a face EAB.
Os três pontos são:
  • E: (0, 0, 6√3)
  • A: (6, 0, 0)
  • B: (0, 6, 0)
Primeiro, encontramos dois vetores no plano:
  • Vetor EA: A - E = (6-0, 0-0, 0-6√3) = (6, 0, -6√3)
  • Vetor EB: B - E = (0-0, 6-0, 0-6√3) = (0, 6, -6√3)
Agora, calculamos o produto vetorial de EA e EB para encontrar o vetor normal (n) ao plano:
n = EA times EB = i & j & k 6 & 0 & -6raiz3 0 & 6 & -6raiz3
Calculando:
n = i cdot (0 cdot (-6raiz3) - 6 cdot (-6raiz3)) - j cdot (6 cdot (-6raiz3) - 0 cdot (-6raiz3)) + k cdot (6 cdot 6 - 0 cdot 0)
n = i cdot (0 + 36raiz3) - j cdot (-36raiz3 - 0) + k cdot 36
n = (36raiz3, 36raiz3, 36)
Podemos simplificar dividindo por 36:
n = (raiz3, raiz3, 1)
Agora, usamos a equação do plano:
raiz3(x - x0) + raiz3(y - y0) + 1(z - z0) = 0
Usando o ponto E (0, 0, 6√3):
raiz3x + raiz3y + z - 6raiz3 = 0
Então, a equação do plano da face EAB é:
raiz3x + raiz3y + z = 6raiz3

Passo 6

Vamos repetir o mesmo processo para as outras faces.
Face EBC:
Pontos:
  • E: (0, 0, 6√3)
  • B: (0, 6, 0)
  • C: (-6, 0, 0)
Vetores:
  • EB: (0, 6, -6√3)
  • EC: (-6, 0, -6√3)
Produto vetorial:
n = EB times EC = i & j & k 0 & 6 & -6raiz3 -6 & 0 & -6raiz3
Calculando:
n = i cdot (6 cdot (-6raiz3) - 0 cdot (-6raiz3)) - j cdot (0 cdot (-6raiz3) - (-6) cdot (-6raiz3)) + k cdot (0 cdot 0 - (-6) cdot 6)
n = i cdot (-36raiz3) - j cdot (-36raiz3) + k cdot 36
n = (-36raiz3, 36raiz3, 36)
Simplificando:
n = (-raiz3, raiz3, 1)
Equação do plano usando ponto E:
-raiz3x + raiz3y + z = 6raiz3
Face ECD:
Pontos:
  • E: (0, 0, 6√3)
  • C: (-6, 0, 0)
  • D: (0, -6, 0)
Vetores:
  • EC: (-6, 0, -6√3)
  • ED: (0, -6, -6√3)
Produto vetorial:
n = EC times ED = i & j & k -6 & 0 & -6raiz3 0 & -6 & -6raiz3
Calculando:
n = i cdot (0 cdot (-6raiz3) - (-6) cdot (-6raiz3)) - j cdot (-6 cdot (-6raiz3) - 0 cdot (-6raiz3)) + k cdot (-6 cdot (-6) - 0 cdot 0)
n = i cdot (0 - 36raiz3) - j cdot (36raiz3 - 0) + k cdot 36
n = (-36raiz3, -36raiz3, 36)
Simplificando:
n = (-raiz3, -raiz3, 1)
Equação do plano usando ponto E:
-raiz3x - raiz3y + z = 6raiz3
Face EDA:
Pontos:
  • E: (0, 0, 6√3)
  • D: (0, -6, 0)
  • A: (6, 0, 0)
Vetores:
  • ED: (0, -6, -6√3)
  • EA: (6, 0, -6√3)
Produto vetorial:
n = ED times EA = i & j & k 0 & -6 & -6raiz3 6 & 0 & -6raiz3
Calculando:
n = i cdot (-6 cdot (-6raiz3) - 0 cdot (-6raiz3)) - j cdot (0 cdot (-6raiz3) - 6 cdot (-6raiz3)) + k cdot (0 cdot 0 - 6 cdot (-6))
n = i cdot (36raiz3) - j cdot (36raiz3) + k cdot 36
n = (36raiz3, -36raiz3, 36)
Simplificando:
n = (raiz3, -raiz3, 1)
Equação do plano usando ponto E:
raiz3x - raiz3y + z = 6raiz3

Resposta

As equações dos planos que contêm cada uma das faces laterais da pirâmide são:
  1. Face EAB:
raiz3,x + raiz3,y + z = 6raiz3
  1. Face EBC:
-raiz3,x + raiz3,y + z = 6raiz3
  1. Face ECD:
-raiz3,x - raiz3,y + z = 6raiz3
  1. Face EDA:
raiz3,x - raiz3,y + z = 6raiz3

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