Considere a pirâmide ABCDE cuja base ABCD é um quadrado de lado
e cada aresta lateral mede 12 m . Suponha que o centro do quadrado
seja a origem
do sistema de coordenadas e que o ponto A esteja sobre o eixo
positivo. Determine as equações dos planos que contêm cada uma das faces laterais da pirâmide.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma pirâmide ABCDE com base quadrada ABCD de lado 12 metros. Cada aresta lateral também mede 12 metros. A base está posicionada de forma que o centro do quadrado A B C D é a origem do sistema de coordenadas (0,0,0) e o ponto A está no eixo positivo do x. Nosso objetivo aqui é determinar as equações dos planos que contêm cada uma das faces laterais da pirâmide. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre coordenadas no espaço, vetores e equações de planos.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar as coordenadas de todos os vértices da pirâmide. Sabemos que a base é um quadrado com lado 12 metros e está centrada na origem.
Como o lado do quadrado é 12 m, cada metade do lado é 6 m. Então, as coordenadas dos vértices da base serão:
- Ponto A: (6, 0, 0) – está no eixo positivo do x.
- Ponto B: (0, 6, 0)
- Ponto C: (-6, 0, 0)
- Ponto D: (0, -6, 0)
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as coordenadas do vértice superior E da pirâmide. Sabemos que cada aresta lateral tem 12 metros. A distância de E a cada vértice da base deve ser 12 m.
Vamos considerar que E tem coordenadas (0, 0, h), já que está acima do centro da base. Usando a fórmula da distância entre dois pontos no espaço, temos:
Simplificando:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então, as coordenadas de E são (0, 0, 6√3).
Passo 4
Agora que temos todas as coordenadas dos vértices, podemos determinar as equações dos planos das faces laterais.
Cada face lateral é um triângulo formado por E e dois vértices adjacentes da base. Por exemplo, a face EAB é formada por E, A e B.
Para encontrar a equação de um plano que passa por três pontos, podemos usar o seguinte método:
- Encontrar dois vetores no plano.
- Calcular o produto vetorial desses vetores para obter o vetor normal ao plano.
- Usar a equação do plano com o vetor normal e um dos pontos.
Passo 5
Vamos começar com a face EAB.
Os três pontos são:
- E: (0, 0, 6√3)
- A: (6, 0, 0)
- B: (0, 6, 0)
Primeiro, encontramos dois vetores no plano:
- Vetor EA: A - E = (6-0, 0-0, 0-6√3) = (6, 0, -6√3)
- Vetor EB: B - E = (0-0, 6-0, 0-6√3) = (0, 6, -6√3)
Agora, calculamos o produto vetorial de EA e EB para encontrar o vetor normal (n) ao plano:
Calculando:
Podemos simplificar dividindo por 36:
Agora, usamos a equação do plano:
Usando o ponto E (0, 0, 6√3):
Então, a equação do plano da face EAB é:
Passo 6
Vamos repetir o mesmo processo para as outras faces.
Face EBC:
Pontos:
- E: (0, 0, 6√3)
- B: (0, 6, 0)
- C: (-6, 0, 0)
Vetores:
- EB: (0, 6, -6√3)
- EC: (-6, 0, -6√3)
Produto vetorial:
Calculando:
Simplificando:
Equação do plano usando ponto E:
Face ECD:
Pontos:
- E: (0, 0, 6√3)
- C: (-6, 0, 0)
- D: (0, -6, 0)
Vetores:
- EC: (-6, 0, -6√3)
- ED: (0, -6, -6√3)
Produto vetorial:
Calculando:
Simplificando:
Equação do plano usando ponto E:
Face EDA:
Pontos:
- E: (0, 0, 6√3)
- D: (0, -6, 0)
- A: (6, 0, 0)
Vetores:
- ED: (0, -6, -6√3)
- EA: (6, 0, -6√3)
Produto vetorial:
Calculando:
Simplificando:
Equação do plano usando ponto E:
Resposta
As equações dos planos que contêm cada uma das faces laterais da pirâmide são:
- Face EAB:
- Face EBC:
- Face ECD:
- Face EDA: