Ache a equação do plano tangente a cada superfície no ponto indicado:
, no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de matemática! A gente precisa achar a equação do plano tangente à superfície dada por
no ponto específico
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e entender como elas nos ajudam a encontrar a inclinação do plano tangente naquele ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
. As derivadas parciais representam a taxa de variação de
quando mudamos apenas uma variável de cada vez.
-
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor dessas derivadas no ponto
. Isso nos dá as inclinações do plano tangente nas direções de
e
.
-
Avaliando em
: -
Avaliando em
:
Passo 4
Com as derivadas parciais no ponto, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação para deixar ela mais bonita:
Resposta
A equação do plano tangente é:
Exercícios relacionados
Dada a função
, calcular
Dada a função
, calcular
Seja
uma função diferenciável tal que as imagens das curvas
estejam contidas no gráfico de
. Determine o gradiente de
no ponto
. Obs.: Gradiente de
no ponto
.
Encontrar as derivadas de
ordem das seguintes funções: