Ache a equação do plano tangente a cada superfície no ponto indicado: , no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matemática! A gente precisa achar a equação do plano tangente à superfície dada por no ponto específico . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e entender como elas nos ajudam a encontrar a inclinação do plano tangente naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais representam a taxa de variação de quando mudamos apenas uma variável de cada vez.
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor dessas derivadas no ponto . Isso nos dá as inclinações do plano tangente nas direções de e .
  • Avaliando em :
  • Avaliando em :

Passo 4

Com as derivadas parciais no ponto, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente é:
Substituindo os valores que temos:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação para deixar ela mais bonita:

Resposta

A equação do plano tangente é:

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Dada a função , calcular
Dada a função , calcular
Seja uma função diferenciável tal que as imagens das curvas estejam contidas no gráfico de . Determine o gradiente de no ponto . Obs.: Gradiente de no ponto .
Encontrar as derivadas de ordem das seguintes funções: