Seja
uma função diferenciável tal que as imagens das curvas
estejam contidas no gráfico de
. Determine o gradiente de
no ponto
. Obs.: Gradiente de
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função
que é diferenciável. Isso significa que ela tem derivadas parciais em todos os pontos. Além disso, sabemos que as curvas
e
estão contidas no gráfico de
. Nosso objetivo é encontrar o gradiente de
no ponto
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas ao longo de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a curva
. Como essa curva está no gráfico de
, isso significa que para todo
,
. Vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a
:
Do lado esquerdo, aplicamos a regra da cadeia:
Como
é constante,
, e
. Então:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos analisar a curva
. Como essa curva também está no gráfico de
, temos que
. Mais uma vez, vamos derivar ambos os lados em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia:
Calculando as derivadas:
Passo 4
Até aqui, temos duas equações:
Nosso objetivo é encontrar
e
. Vamos substituir
nessas equações (porque o ponto de interesse é
e na curva
, quando
, obtemos
):
Simplificando a segunda equação:
Subtraindo 4 de ambos os lados:
Dividindo por 4:
Resposta
Então, o gradiente de
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Ache a equação do plano tangente a cada superfície no ponto indicado:
, no ponto
.
Dada a função
, calcular
Encontrar as derivadas de
ordem das seguintes funções:
Dada a função
, Mostrar que