Seja f: R^2 R uma função diferenciável tal que as imagens das curvas gamma(t)=(2, t, 2 t^2) e mu(t)=(2 t^2, t, 2 t^4) estejam contidas no gráfico de f. Determine o gradiente de f no ponto (2,1). Obs.: Gradiente de f no ponto (2,1)=nabla f(2,1)=(partial fpartial x(2,1), partial fpartial y(2,1)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função que é diferenciável. Isso significa que ela tem derivadas parciais em todos os pontos. Além disso, sabemos que as curvas e estão contidas no gráfico de . Nosso objetivo é encontrar o gradiente de no ponto , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas ao longo de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a curva ddt f(2, t) = ddt (2t^2) . Como essa curva está no gráfico de partial fpartial x cdot dxdt + partial fpartial y cdot dydt = 4t , isso significa que para todo 0 cdot partial fpartial x + 1 cdot partial fpartial y = 4t , partial fpartial y = 4t . Vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a :
Do lado esquerdo, aplicamos a regra da cadeia:
Como é constante, , e . Então:
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos analisar a curva ddt f(2t^2, t) = ddt (2t^4) . Como essa curva também está no gráfico de partial fpartial x cdot d(2t^2)dt + partial fpartial y cdot dtdt = 8t^3 , temos que partial fpartial x cdot 4t + partial fpartial y = 8t^3 . Mais uma vez, vamos derivar ambos os lados em relação a :
Aplicando a regra da cadeia:
Calculando as derivadas:

Passo 4

Até aqui, temos duas equações:
  1. 4 cdot partial fpartial x(2,1) + 4 = 8
  2. 4 cdot partial fpartial x(2,1) = 4
Nosso objetivo é encontrar partial fpartial x(2,1) = 1 e . Vamos substituir nessas equações (porque o ponto de interesse é e na curva , quando , obtemos ):
Simplificando a segunda equação:
Subtraindo 4 de ambos os lados:
Dividindo por 4:

Resposta

Então, o gradiente de nabla f(2,1) = (1, 4) no ponto é:

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