Seja uma função diferenciável tal que as imagens das curvas estejam contidas no gráfico de . Determine o gradiente de no ponto . Obs.: Gradiente de no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função que é diferenciável. Isso significa que ela tem derivadas parciais em todos os pontos. Além disso, sabemos que as curvas e estão contidas no gráfico de . Nosso objetivo é encontrar o gradiente de no ponto , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas ao longo de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a curva . Como essa curva está no gráfico de , isso significa que para todo , . Vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a :
Do lado esquerdo, aplicamos a regra da cadeia:
Como é constante, , e . Então:
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos analisar a curva . Como essa curva também está no gráfico de , temos que . Mais uma vez, vamos derivar ambos os lados em relação a :
Aplicando a regra da cadeia:
Calculando as derivadas:

Passo 4

Até aqui, temos duas equações:
Nosso objetivo é encontrar e . Vamos substituir nessas equações (porque o ponto de interesse é e na curva , quando , obtemos ):
Simplificando a segunda equação:
Subtraindo 4 de ambos os lados:
Dividindo por 4:

Resposta

Então, o gradiente de no ponto é:

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Ache a equação do plano tangente a cada superfície no ponto indicado: , no ponto .
Dada a função , calcular
Encontrar as derivadas de ordem das seguintes funções:
Dada a função , Mostrar que