Dada a função
, calcular
Passo 1
Beleza, vamos começar! O enunciado pede para calcular o Laplaciano da função
. O Laplaciano, representado por
, é uma operação que envolve as derivadas segundas da função em relação às suas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos derivar
duas vezes em relação a
.
A primeira derivada de
em relação a
é:
Agora, derivamos novamente em relação a
:
Passo 3
Em seguida, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Primeiro, a primeira derivada de
em relação a
é:
Derivando novamente em relação a
:
Passo 4
Agora que temos as duas derivadas segundas, podemos calcular o Laplaciano
. O Laplaciano é a soma das derivadas segundas em relação a cada variável:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
O Laplaciano da função
é
.
Exercícios relacionados
Dada a função
, calcular
Seja
, onde
é uma função de classe
. Calcule
em função das derivadas parciais de
.
Ache a equação do plano tangente a cada superfície no ponto indicado:
, no ponto
.
Seja
uma função diferenciável tal que as imagens das curvas
estejam contidas no gráfico de
. Determine o gradiente de
no ponto
. Obs.: Gradiente de
no ponto
.