Encontrar as derivadas de
ordem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas de segunda ordem da função
. Isso significa que vamos calcular como a função muda quando variamos
e
duas vezes. Para isso, vamos usar as regras de derivação e derivadas parciais, que são usadas quando temos funções com mais de uma variável.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Derivada parcial significa que vamos considerar
como uma constante enquanto derivamos em relação a
.
A função é
. A derivada de
em relação a
é
, e pela regra da cadeia, multiplicamos pela derivada de
em relação a
.
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
. Isso significa derivar novamente
em relação a
.
Sabemos que
. Derivando isso em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, tratando
como constante.
A função é
. Novamente, usando a regra da cadeia:
Passo 5
Vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, derivar novamente
em relação a
.
Sabemos que
. Derivando isso em relação a
:
Passo 6
Por fim, vamos calcular a derivada mista, ou seja, primeiro derivar em relação a
e depois em relação a
.
Começamos com
. Agora, derivamos isso em relação a
:
Podemos fatorar
:
Resposta
As derivadas de segunda ordem da função
são:
Exercícios relacionados
Seja
uma função diferenciável tal que as imagens das curvas
estejam contidas no gráfico de
. Determine o gradiente de
no ponto
. Obs.: Gradiente de
no ponto
.
Ache a equação do plano tangente a cada superfície no ponto indicado:
, no ponto
.
Dada a função
, Mostrar que
Esboce a região
e encontre o máximo e mínimo absolutos da função nesta região.
.