Encontrar as derivadas de
ordem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas de segunda ordem da função
. Isso significa que vamos calcular como a função muda quando variamos
e
duas vezes. Para isso, vamos usar as regras de derivação e derivadas parciais, que são usadas quando temos funções com mais de uma variável.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Derivada parcial significa que vamos considerar
como uma constante enquanto derivamos em relação a
.
A função é
. A derivada de
em relação a
é
, e pela regra da cadeia, multiplicamos pela derivada de
em relação a
.
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
. Isso significa derivar novamente
em relação a
.
Sabemos que
. Derivando isso em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, tratando
como constante.
A função é
. Novamente, usando a regra da cadeia:
Passo 5
Vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, derivar novamente
em relação a
.
Sabemos que
. Derivando isso em relação a
:
Passo 6
Por fim, vamos calcular a derivada mista, ou seja, primeiro derivar em relação a
e depois em relação a
.
Começamos com
. Agora, derivamos isso em relação a
:
Podemos fatorar
:
Resposta
As derivadas de segunda ordem da função
são: