Encontrar as derivadas de ordem das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas de segunda ordem da função . Isso significa que vamos calcular como a função muda quando variamos e duas vezes. Para isso, vamos usar as regras de derivação e derivadas parciais, que são usadas quando temos funções com mais de uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Derivada parcial significa que vamos considerar como uma constante enquanto derivamos em relação a .
A função é . A derivada de em relação a é , e pela regra da cadeia, multiplicamos pela derivada de em relação a .
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a . Isso significa derivar novamente em relação a .
Sabemos que . Derivando isso em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , tratando como constante.
A função é . Novamente, usando a regra da cadeia:

Passo 5

Vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a . Ou seja, derivar novamente em relação a .
Sabemos que . Derivando isso em relação a :

Passo 6

Por fim, vamos calcular a derivada mista, ou seja, primeiro derivar em relação a e depois em relação a .
Começamos com . Agora, derivamos isso em relação a :
Podemos fatorar :

Resposta

As derivadas de segunda ordem da função são:

Exercícios relacionados

Seja uma função diferenciável tal que as imagens das curvas estejam contidas no gráfico de . Determine o gradiente de no ponto . Obs.: Gradiente de no ponto .
Ache a equação do plano tangente a cada superfície no ponto indicado: , no ponto .
Dada a função , Mostrar que
Esboce a região e encontre o máximo e mínimo absolutos da função nesta região.
.