Ache uma equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície no ponto indicado.
d) z = raiz(x) + raiz(y) ; (1, 1, 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é encontrar a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície dada pela função no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o plano tangente. O plano tangente a uma superfície num ponto específico é o plano que “toca” a superfície nesse ponto e tem a mesma inclinação da superfície ali. Para encontrá-lo, precisamos das derivadas parciais da função em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado :
  • :
  • :

Passo 5

Com as derivadas parciais conhecidas, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar a equação do plano tangente:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a reta normal à superfície no ponto . A reta normal possui uma direção dada pelo vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é formado pelas derivadas parciais e pode ser escrito como:

Passo 8

Com o vetor normal, podemos escrever as equações paramétricas da reta normal:
Onde é o parâmetro.

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:
E as equações paramétricas da reta normal são:

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Calcule a integral integralC F cdot d r, onde
F(x, y, z)=(2 x y+e^3 z) i+x^2 j+(3 x e^3 z-3 z^2) k
e C é uma curva suave por partes, que vai de (1,0,1) a (0,1,1).
Ache o gradiente de f em P e a taxa de variação dos valores funcionais na direção de U em P.
a) f(x, y) = x^2 - 4y ; P = (-2, 2) ; U = cos(pi/3) * i + sen(pi/3) * j
Considere o campo vetorial F(x, y)=P i+Q j=2 x y(x^2+y^2)^2 i+y^2-x^2(x^2+y^2)^2 j.
(b) Calcule a integral integralC F cdot d r, onde C é um disco x^2+y^2=epsilon^2, epsilon>0.
Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
b) y = x^2, y = 16 - z^2 ; (4, 16, 0)