Ache uma equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície no ponto indicado.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é encontrar a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície dada pela função no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o plano tangente. O plano tangente a uma superfície num ponto específico é o plano que “toca” a superfície nesse ponto e tem a mesma inclinação da superfície ali. Para encontrá-lo, precisamos das derivadas parciais da função em relação a e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado :
:
:
Passo 5
Com as derivadas parciais conhecidas, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar a equação do plano tangente:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a reta normal à superfície no ponto . A reta normal possui uma direção dada pelo vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é formado pelas derivadas parciais e pode ser escrito como:
Passo 8
Com o vetor normal, podemos escrever as equações paramétricas da reta normal:
Onde é o parâmetro.
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto é: