Calcule a integral integralC F cdot d r, onde
F(x, y, z)=(2 x y+e^3 z) i+x^2 j+(3 x e^3 z-3 z^2) k
e C é uma curva suave por partes, que vai de (1,0,1) a (0,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha , onde . A curva é uma trajetória suave que vai de até . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais de linha em cálculo vetorial, verificando se o campo vetorial é conservativo para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar, ou seja, . Além disso, em espaços tridimensionais, se o rotacional de for zero ( ), então é conservativo.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z 2xy + e^3z & x^2 & 3x e^3z - 3z^2 :
( partialpartial y(3x e^3z - 3z^2) - partialpartial z(x^2) ) i = (3x cdot 0 - 0) i = 0 i
Calculando cada componente:
( partialpartial z(2xy + e^3z) - partialpartial x(3x e^3z - 3z^2) ) j = (3e^3z) - (3 e^3z) j = 0 j
( partialpartial x(x^2) - partialpartial y(2xy + e^3z) ) k = (2x) - (2x) k = 0 k
Portanto, , o que indica que é um campo conservativo.

Passo 4

Como é conservativo, existe uma função potencial tal que . Assim, a integral de linha depende apenas dos valores de nos pontos finais da curva. Vamos encontrar integrando os componentes de .

Passo 5

Integramos a componente phi(x, y, z) = integral (2xy + e^3z) , dx = x^2y + x e^3z + g(y, z) em relação a :
Aqui, é uma função que pode depender de e .

Passo 6

Agora, derivamos partial phipartial y = x^2 + partial gpartial y = x^2 implies partial gpartial y = 0 em relação a e igualamos à componente :
Isso significa que não depende de , ou seja, .

Passo 7

Finalmente, derivamos partial phipartial z = 3x e^3z + g'(z) = 3x e^3z - 3z^2 implies g'(z) = -3z^2 em relação a g(z) = -z^3 + C e igualamos à componente :
Integrando em relação a :
Onde é uma constante.

Passo 8

Agora, temos a função potencial:
phi(x, y, z) = x^2y + x e^3z - z^3 + C
Como a integral de linha de um campo conservativo depende apenas dos pontos inicial e final, podemos calcular:
integralC F cdot d r = phi(0, 1, 1) - phi(1, 0, 1)

Passo 9

Calculando phi(0, 1, 1) = (0)^2(1) + 0 cdot e^3 cdot 1 - (1)^3 + C = 0 + 0 - 1 + C = -1 + C :
phi(1, 0, 1) = (1)^2(0) + 1 cdot e^3 cdot 1 - (1)^3 + C = 0 + e^3 - 1 + C = e^3 - 1 + C
E :

Resposta

Subtraindo os dois valores:
integralC F cdot d r = (-1 + C) - (e^3 - 1 + C) = -1 + C - e^3 + 1 - C = -e^3
Então, a integral de linha é .

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Considere o campo vetorial F(x, y)=P i+Q j=2 x y(x^2+y^2)^2 i+y^2-x^2(x^2+y^2)^2 j.
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