Ache o gradiente de
em
e a taxa de variação dos valores funcionais na direção de
em
.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um problema onde precisamos encontrar o gradiente da função
no ponto
e também calcular a taxa de variação dessa função na direção do vetor . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente gradiente e derivada direcional, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função multivariável, como
, é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e cuja magnitude representa a taxa de variação máxima. Matematicamente, o gradiente é dado por:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, substituímos as coordenadas do ponto
nas derivadas parciais para encontrar o gradiente em
.
Para
em
:
Para
em
:
Então, o gradiente em
é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a taxa de variação da função na direção do vetor
. Para isso, precisamos primeiro garantir que
seja um vetor unitário (ou seja, com comprimento 1).
Primeiro, calculamos a magnitude de
:
Então,
já é um vetor unitário.
Passo 6
A taxa de variação na direção de
é dada pela derivada direcional, que é o produto escalar entre o gradiente de
em
e o vetor
:
Substituindo os valores:
Resposta
O gradiente de
no ponto
é
e a taxa de variação dos valores funcionais na direção de
em
é .
Exercícios relacionados
Considere o campo vetorial
.
(a) Mostre que . O campo
é conservativo?
(a) Mostre que
Ache o valor da derivada direcional no ponto
para a função dada na direção e sentido de
.
a)
a)
Calcule a integral
, onde
e
é uma curva suave por partes, que vai de
a
.
Ache uma equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície no ponto indicado.
d)
d)