Ache o gradiente de f em P e a taxa de variação dos valores funcionais na direção de U em P.
a) f(x, y) = x^2 - 4y ; P = (-2, 2) ; U = cos(pi/3) * i + sen(pi/3) * j

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um problema onde precisamos encontrar o gradiente da função no ponto e também calcular a taxa de variação dessa função na direção do vetor . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente gradiente e derivada direcional, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função multivariável, como , é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e cuja magnitude representa a taxa de variação máxima. Matematicamente, o gradiente é dado por:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Para :
Para :

Passo 4

Agora, substituímos as coordenadas do ponto nas derivadas parciais para encontrar o gradiente em .
Para em :
Para em :
Então, o gradiente em é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a taxa de variação da função na direção do vetor . Para isso, precisamos primeiro garantir que seja um vetor unitário (ou seja, com comprimento 1).
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Então, já é um vetor unitário.

Passo 6

A taxa de variação na direção de é dada pela derivada direcional, que é o produto escalar entre o gradiente de em e o vetor :
Substituindo os valores:

Resposta

O gradiente de no ponto é e a taxa de variação dos valores funcionais na direção de em é .

Exercícios relacionados

Considere o campo vetorial F(x, y)=P i+Q j=2 x y(x^2+y^2)^2 i+y^2-x^2(x^2+y^2)^2 j.
(a) Mostre que partial Ppartial y=partial Qpartial x. O campo F é conservativo?
Ache o valor da derivada direcional no ponto P0 para a função dada na direção e sentido de U.
a) f(x, y) = y^2 tg(x); U = -raiz(3)/2 * i + 1/2 * j; P0 = (pi/3, 2)
Calcule a integral integralC F cdot d r, onde
F(x, y, z)=(2 x y+e^3 z) i+x^2 j+(3 x e^3 z-3 z^2) k
e C é uma curva suave por partes, que vai de (1,0,1) a (0,1,1).
Ache uma equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície no ponto indicado.
d) z = raiz(x) + raiz(y) ; (1, 1, 2)