Ache o gradiente de f em P e a taxa de variação dos valores funcionais na direção de U em P.
a) f(x, y) = x^2 - 4y ; P = (-2, 2) ; U = cos(pi/3) * i + sen(pi/3) * j

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um problema onde precisamos encontrar o gradiente da função no ponto e também calcular a taxa de variação dessa função na direção do vetor . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente gradiente e derivada direcional, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função multivariável, como , é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e cuja magnitude representa a taxa de variação máxima. Matematicamente, o gradiente é dado por:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Para :
Para :

Passo 4

Agora, substituímos as coordenadas do ponto nas derivadas parciais para encontrar o gradiente em .
Para em :
Para em :
Então, o gradiente em é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a taxa de variação da função na direção do vetor . Para isso, precisamos primeiro garantir que seja um vetor unitário (ou seja, com comprimento 1).
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Então, já é um vetor unitário.

Passo 6

A taxa de variação na direção de é dada pela derivada direcional, que é o produto escalar entre o gradiente de em e o vetor :
Substituindo os valores:

Resposta

O gradiente de no ponto é e a taxa de variação dos valores funcionais na direção de em é .

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