Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
b) y = x^2, y = 16 - z^2 ; (4, 16, 0)

Passo 1

Vamos resolver um exercício que pede para encontrar as equações da reta tangente à curva de intersecção de duas superfícies no ponto dado. As superfícies são e , e o ponto de interesse é . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente envolvendo gradientes e vetores tangentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a curva de intersecção das duas superfícies é onde ambas as equações são verdadeiras ao mesmo tempo. Ou seja, temos:
Igualando as duas expressões para , temos:
Isso representa uma circunferência no plano com raio 4.

Passo 3

Para encontrar a reta tangente à curva de intersecção no ponto , vamos usar os gradientes das duas superfícies. O gradiente de uma função nos dá a direção de maior crescimento e é perpendicular às superfícies.
Primeiro, definimos duas funções:
Agora, calculamos os gradientes:

Passo 4

No ponto dado , substituímos os valores de e nos gradientes:
A reta tangente à curva de intersecção será paralela ao vetor que é o produto vetorial desses dois gradientes:
Calculando o produto vetorial:
Podemos simplificar o vetor direção para .

Passo 5

Com o ponto e o vetor direção , a equação paramétrica da reta tangente é:
Onde é o parâmetro.

Resposta

A reta tangente à curva de intersecção no ponto é dada por:
Onde é um parâmetro real.

Exercícios relacionados

Considere o campo vetorial F(x, y)=P i+Q j=2 x y(x^2+y^2)^2 i+y^2-x^2(x^2+y^2)^2 j.
(b) Calcule a integral integralC F cdot d r, onde C é um disco x^2+y^2=epsilon^2, epsilon>0.
Ache uma equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície no ponto indicado.
d) z = raiz(x) + raiz(y) ; (1, 1, 2)
Seja y = f(x) a função dada implicitamente por y^5 + 5*y^4 + 10*y^3 + 10*y^2 + 5*y + 1 = x. Determine a reta tangente a função no ponto (1, f(1))
Determine os extremos relativos de f, se existirem.
b) f(x, y) = e^(x y)