Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
b)
Passo 1
Vamos resolver um exercício que pede para encontrar as equações da reta tangente à curva de intersecção de duas superfícies no ponto dado. As superfícies são e , e o ponto de interesse é . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente envolvendo gradientes e vetores tangentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a curva de intersecção das duas superfícies é onde ambas as equações são verdadeiras ao mesmo tempo. Ou seja, temos:
Igualando as duas expressões para , temos:
Isso representa uma circunferência no plano com raio 4.
Passo 3
Para encontrar a reta tangente à curva de intersecção no ponto , vamos usar os gradientes das duas superfícies. O gradiente de uma função nos dá a direção de maior crescimento e é perpendicular às superfícies.
Primeiro, definimos duas funções:
Agora, calculamos os gradientes:
Passo 4
No ponto dado , substituímos os valores de e nos gradientes:
A reta tangente à curva de intersecção será paralela ao vetor que é o produto vetorial desses dois gradientes:
Calculando o produto vetorial:
Podemos simplificar o vetor direção para .
Passo 5
Com o ponto e o vetor direção , a equação paramétrica da reta tangente é:
Onde é o parâmetro.
Resposta
A reta tangente à curva de intersecção no ponto é dada por: