Considere o campo vetorial
.
(b) Calcule a integral
, onde
é um disco
.
(b) Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva
, que é o círculo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de superfície. Vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar esse teorema para simplificar nossa vida.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que a integral de linha de um campo vetorial
ao redor de uma curva fechada
é igual à integral dupla sobre a região
limitada por
da diferença das derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
. Matemáticamente:
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial:
Precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 4
Calculando
:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 5
Agora, calculando
:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular a diferença
:
Simplificando os termos:
Passo 7
Então, a diferença
é zero. Isso significa que, de acordo com o Teorema de Green, a integral de linha ao redor de
também será zero:
Resposta
A integral
é igual a zero.
Exercícios relacionados
Ache uma equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície no ponto indicado.
d)
d)
Calcule a integral
, onde
e
é uma curva suave por partes, que vai de
a
.
Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
b)
b)
Seja
a função dada implicitamente por
. Determine a reta tangente a função no ponto