Considere o campo vetorial F(x, y)=P i+Q j=2 x y(x^2+y^2)^2 i+y^2-x^2(x^2+y^2)^2 j.
(b) Calcule a integral integralC F cdot d r, onde C é um disco x^2+y^2=epsilon^2, epsilon>0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa calcular a integral de linha do campo vetorial F(x, y) ao longo da curva C, que é o círculo x^2 + y^2 = epsilon^2. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de superfície. Vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar esse teorema para simplificar nossa vida.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que a integral de linha de um campo vetorial F = P i + Q j ao redor de uma curva fechada C é igual à integral dupla sobre a região D limitada por C da diferença das derivadas parciais de Q em relação a x e de P em relação a y. Matemáticamente:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA

Passo 3

Vamos identificar P e Q no nosso campo vetorial:
P = 2xy(x^2 + y^2)^2 e Q = y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2
Precisamos calcular as derivadas parciais partial Qpartial x e partial Ppartial y.

Passo 4

Calculando partial Qpartial x:
Q = y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2 = (y^2 - x^2) cdot (x^2 + y^2)^-2
Aplicando a regra do produto:
partial Qpartial x = -2x cdot (x^2 + y^2)^-2 + (y^2 - x^2) cdot (-2) cdot (x^2 + y^2)^-3 cdot 2x
Simplificando:
partial Qpartial x = -2x(x^2 + y^2)^2 + 4x(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)^3

Passo 5

Agora, calculando partial Ppartial y:
P = 2xy(x^2 + y^2)^2 = 2xy cdot (x^2 + y^2)^-2
Aplicando a regra do produto:
partial Ppartial y = 2x cdot (x^2 + y^2)^-2 + 2xy cdot (-2) cdot (x^2 + y^2)^-3 cdot 2y
Simplificando:
partial Ppartial y = 2x(x^2 + y^2)^2 - 8x y^2(x^2 + y^2)^3

Passo 6

Agora, vamos calcular a diferença partial Qpartial x - partial Ppartial y:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = ( -2x(x^2 + y^2)^2 + 4x(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)^3 ) - ( 2x(x^2 + y^2)^2 - 8x y^2(x^2 + y^2)^3 )
Simplificando os termos:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -4x(x^2 + y^2)^2 + 4x(x^2 - y^2) + 8x y^2(x^2 + y^2)^3
= -4x(x^2 + y^2)^2 + 4x^3 - 4x y^2 + 8x y^2(x^2 + y^2)^3
= -4x(x^2 + y^2)^2 + 4x^3 + 4x y^2(x^2 + y^2)^3
= -4x (x^2 + y^2) + 4x^3 + 4x y^2(x^2 + y^2)^3
= -4x^3 - 4x y^2 + 4x^3 + 4x y^2(x^2 + y^2)^3 = 0

Passo 7

Então, a diferença partial Qpartial x - partial Ppartial y é zero. Isso significa que, de acordo com o Teorema de Green, a integral de linha ao redor de C também será zero:
ointC F cdot dr = integral duplaD 0 , dA = 0

Resposta

A integral integralC F cdot d r é igual a zero.

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d) z = raiz(x) + raiz(y) ; (1, 1, 2)
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