Ache uma equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície no ponto indicado.
c) y = e^x cos(z) ; (1, e, 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície dada pela função no ponto . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, para encontrar a inclinação da superfície nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente a uma superfície em um ponto é aquele que “toca” a superfície naquele ponto e tem a mesma inclinação da superfície no ponto específico. Para encontrar a equação do plano tangente, precisamos das derivadas parciais da função em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Para :
Para :

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais no ponto, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 6

Para encontrar as equações da reta normal, precisamos do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelas derivadas parciais:
A reta normal passa pelo ponto dado e tem direção do vetor normal . As equações paramétricas da reta normal são:
Onde são as componentes do vetor normal e é o parâmetro.
Substituindo:

Resposta

A equação do plano tangente é e as equações da reta normal são:

Exercícios relacionados

Ache o gradiente de f em P e a taxa de variação dos valores funcionais na direção de U em P.
d) f(x, y, z) = 2x^3 + xy^2 + xz^2 ; P = (1, 1, 1) ; U = (raiz(21)/7) * j - (2 * raiz(7)/7) * k
Derive as funções abaixo f(x) = 2 sen(1/2 arcsen(x)) cos(1/2 arcsen(x)).
Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
a) x^2 + y^2 - z = 8, x - y^2 + z^2 = -2 ; (2, -2, 0)
Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
f) x^2 - 3xy + y^2 = z, 2x^2 + y^2 - 3z + 27 = 0 ; (1, -2, 11)