Ache uma equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície no ponto indicado.
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície dada pela função no ponto . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, para encontrar a inclinação da superfície nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente a uma superfície em um ponto é aquele que “toca” a superfície naquele ponto e tem a mesma inclinação da superfície no ponto específico. Para encontrar a equação do plano tangente, precisamos das derivadas parciais da função em relação a e .
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Para :
Para :
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais no ponto, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar as equações da reta normal, precisamos do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelas derivadas parciais:
A reta normal passa pelo ponto dado e tem direção do vetor normal . As equações paramétricas da reta normal são:
Onde são as componentes do vetor normal e é o parâmetro.
Substituindo:
Resposta
A equação do plano tangente é e as equações da reta normal são: