Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
a) x^2 + y^2 - z = 8, x - y^2 + z^2 = -2 ; (2, -2, 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas superfícies que se cruzam numa curva, e precisa achar as equações da reta tangente a essa curva no ponto dado. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especialmente o uso de gradientes e produtos vetoriais para encontrar direções de tangentes. Vamos precisar calcular os gradientes das superfícies e depois usar eles para achar a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas equações das superfícies:
O ponto onde queremos encontrar a reta tangente é .

Passo 3

Agora, vamos calcular os gradientes de cada superfície. O gradiente de uma função é o vetor .
Para a primeira superfície :
No ponto :
Para a segunda superfície :
No ponto :

Passo 4

A direção da reta tangente à curva de intersecção é perpendicular a ambos os gradientes das superfícies. Para encontrar essa direção, fazemos o produto vetorial dos gradientes e :
Calculando o determinante:

Passo 5

Agora que temos o vetor direção da reta tangente e o ponto de passagem , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente:
onde é o parâmetro.

Resposta

As equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto são:
onde é um parâmetro real.

Exercícios relacionados

Ache uma equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície no ponto indicado.
c) y = e^x cos(z) ; (1, e, 0)
Ache o gradiente de f em P e a taxa de variação dos valores funcionais na direção de U em P.
d) f(x, y, z) = 2x^3 + xy^2 + xz^2 ; P = (1, 1, 1) ; U = (raiz(21)/7) * j - (2 * raiz(7)/7) * k
Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
f) x^2 - 3xy + y^2 = z, 2x^2 + y^2 - 3z + 27 = 0 ; (1, -2, 11)
Calcule d/y d/x sendo:
c)