Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas superfícies que se cruzam numa curva, e precisa achar as equações da reta tangente a essa curva no ponto dado. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especialmente o uso de gradientes e produtos vetoriais para encontrar direções de tangentes. Vamos precisar calcular os gradientes das superfícies e depois usar eles para achar a direção da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas equações das superfícies:
O ponto onde queremos encontrar a reta tangente é .
Passo 3
Agora, vamos calcular os gradientes de cada superfície. O gradiente de uma função é o vetor .
Para a primeira superfície :
No ponto :
Para a segunda superfície :
No ponto :
Passo 4
A direção da reta tangente à curva de intersecção é perpendicular a ambos os gradientes das superfícies. Para encontrar essa direção, fazemos o produto vetorial dos gradientes e :
Calculando o determinante:
Passo 5
Agora que temos o vetor direção da reta tangente e o ponto de passagem , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente:
onde é o parâmetro.
Resposta
As equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto são: