Ache o gradiente de f em P e a taxa de variação dos valores funcionais na direção de U em P.
d) f(x, y, z) = 2x^3 + xy^2 + xz^2 ; P = (1, 1, 1) ; U = (raiz(21)/7) * j - (2 * raiz(7)/7) * k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o gradiente da função no ponto e a taxa de variação dos valores funcionais na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender sobre gradiente e derivadas direcionais, que são conceitos de cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função no ponto . O gradiente de uma função multivariável é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja,

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :

Passo 5

Assim, o gradiente de em é:

Passo 6

Agora, vamos calcular a taxa de variação dos valores funcionais na direção do vetor em . Essa taxa de variação é conhecida como derivada direcional e é calculada pelo produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário na direção desejada.
A fórmula da derivada direcional é:

Passo 7

Dado que já é um vetor unitário, podemos diretamente calcular o produto escalar:
Então,

Passo 8

Fazendo as contas:

Resposta

O gradiente de em é e a taxa de variação dos valores funcionais na direção de em é .

Exercícios relacionados