Ache o gradiente de f em P e a taxa de variação dos valores funcionais na direção de U em P.
d) f(x, y, z) = 2x^3 + xy^2 + xz^2 ; P = (1, 1, 1) ; U = (raiz(21)/7) * j - (2 * raiz(7)/7) * k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o gradiente da função no ponto e a taxa de variação dos valores funcionais na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender sobre gradiente e derivadas direcionais, que são conceitos de cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função no ponto . O gradiente de uma função multivariável é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja,

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :

Passo 5

Assim, o gradiente de em é:

Passo 6

Agora, vamos calcular a taxa de variação dos valores funcionais na direção do vetor em . Essa taxa de variação é conhecida como derivada direcional e é calculada pelo produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário na direção desejada.
A fórmula da derivada direcional é:

Passo 7

Dado que já é um vetor unitário, podemos diretamente calcular o produto escalar:
Então,

Passo 8

Fazendo as contas:

Resposta

O gradiente de em é e a taxa de variação dos valores funcionais na direção de em é .

Exercícios relacionados

Derive as funções abaixo f(x) = 2 sen(1/2 arcsen(x)) cos(1/2 arcsen(x)).
Ache o valor da derivada direcional no ponto P0 para a função dada na direção e sentido de U.
c) f(x, y, z) = cos(xy) + sen(yz) ; U = -1/3 * i + 2/3 * j + 2/3 * k ; P0 = (2, 0, -3)
Ache uma equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície no ponto indicado.
c) y = e^x cos(z) ; (1, e, 0)
Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
a) x^2 + y^2 - z = 8, x - y^2 + z^2 = -2 ; (2, -2, 0)