Ache o gradiente de em e a taxa de variação dos valores funcionais na direção de em .
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o gradiente da função no ponto e a taxa de variação dos valores funcionais na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender sobre gradiente e derivadas direcionais, que são conceitos de cálculo multivariável.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função no ponto . O gradiente de uma função multivariável é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja,
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Passo 4
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :
Passo 5
Assim, o gradiente de em é:
Passo 6
Agora, vamos calcular a taxa de variação dos valores funcionais na direção do vetor em . Essa taxa de variação é conhecida como derivada direcional e é calculada pelo produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário na direção desejada.
A fórmula da derivada direcional é:
Passo 7
Dado que já é um vetor unitário, podemos diretamente calcular o produto escalar:
Então,
Passo 8
Fazendo as contas:
Resposta
O gradiente de em é e a taxa de variação dos valores funcionais na direção de em é .