Derive as funções abaixo f(x) = 2 sen(1/2 arcsen(x)) cos(1/2 arcsen(x)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente derivar (simplificar) a função . Aqui, vamos usar conhecimentos de trigonometria, especificamente identidades trigonométricas que ajudam a simplificar expressões envolvendo senos e cossenos. Vamos precisar entender a identidade para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte da função que podemos simplificar usando a identidade trigonométrica mencionada. Observamos que temos . Aqui, .

Passo 3

Aplicando a identidade , substituímos pela expressão que temos:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro do seno:

Passo 5

Sabemos que , porque o seno e o arco seno são funções inversas. Portanto, a expressão toda simplifica para:

Resposta

A função simplificada é .

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