Derive as funções abaixo f(x) = 2 sen(1/2 arcsen(x)) cos(1/2 arcsen(x)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente derivar (simplificar) a função . Aqui, vamos usar conhecimentos de trigonometria, especificamente identidades trigonométricas que ajudam a simplificar expressões envolvendo senos e cossenos. Vamos precisar entender a identidade para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte da função que podemos simplificar usando a identidade trigonométrica mencionada. Observamos que temos . Aqui, .

Passo 3

Aplicando a identidade , substituímos pela expressão que temos:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro do seno:

Passo 5

Sabemos que , porque o seno e o arco seno são funções inversas. Portanto, a expressão toda simplifica para:

Resposta

A função simplificada é .

Exercícios relacionados

Ache o valor da derivada direcional no ponto P0 para a função dada na direção e sentido de U.
c) f(x, y, z) = cos(xy) + sen(yz) ; U = -1/3 * i + 2/3 * j + 2/3 * k ; P0 = (2, 0, -3)
Ache a de modo que sejam contínuas as funções:
a) f(x) = { a se x = 2, (x^3 - 8)/(x - 2) } se x != 2
Ache o gradiente de f em P e a taxa de variação dos valores funcionais na direção de U em P.
d) f(x, y, z) = 2x^3 + xy^2 + xz^2 ; P = (1, 1, 1) ; U = (raiz(21)/7) * j - (2 * raiz(7)/7) * k
Ache uma equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície no ponto indicado.
c) y = e^x cos(z) ; (1, e, 0)