Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas superfícies que se cruzam formando uma curva, e a missão é achar a reta tangente a essa curva no ponto dado, que é (1, -2, 11). Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente gradientes e produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os gradientes das duas superfícies no ponto dado. O gradiente de uma função nos dá a direção de maior inclinação, ou seja, é perpendicular à superfície. Para a primeira superfície, , o gradiente é:
Substituindo o ponto (1, -2, 11):
Passo 3
Agora, para a segunda superfície, , o gradiente é:
Substituindo o ponto (1, -2, 11):
Passo 4
A direção da reta tangente à curva de interseção é perpendicular aos gradientes das duas superfícies. Para achar essa direção, a gente faz o produto vetorial dos dois gradientes:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos a direção da reta tangente, podemos escrever a equação paramétrica da reta passando pelo ponto (1, -2, 11) com a direção (17, 20, -4):
Resposta
A reta tangente à curva de intersecção no ponto (1, -2, 11) é dada por: