Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
f) x^2 - 3xy + y^2 = z, 2x^2 + y^2 - 3z + 27 = 0 ; (1, -2, 11)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas superfícies que se cruzam formando uma curva, e a missão é achar a reta tangente a essa curva no ponto dado, que é (1, -2, 11). Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente gradientes e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os gradientes das duas superfícies no ponto dado. O gradiente de uma função nos dá a direção de maior inclinação, ou seja, é perpendicular à superfície. Para a primeira superfície, , o gradiente é:
Substituindo o ponto (1, -2, 11):

Passo 3

Agora, para a segunda superfície, , o gradiente é:
Substituindo o ponto (1, -2, 11):

Passo 4

A direção da reta tangente à curva de interseção é perpendicular aos gradientes das duas superfícies. Para achar essa direção, a gente faz o produto vetorial dos dois gradientes:
çã
Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos a direção da reta tangente, podemos escrever a equação paramétrica da reta passando pelo ponto (1, -2, 11) com a direção (17, 20, -4):

Resposta

A reta tangente à curva de intersecção no ponto (1, -2, 11) é dada por:

Exercícios relacionados