Ache uma equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície no ponto indicado.
b)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície no ponto dado. A superfície é definida por
e o ponto em questão é
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o gradiente, que nos ajuda a encontrar vetores normais à superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função que define a superfície. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é perpendicular à superfície. A função aqui é
.
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:
No ponto
, substituímos os valores:
Passo 3
Agora que temos o gradiente, podemos usar ele para achar a equação do plano tangente. A equação geral do plano tangente em um ponto
é:
Substituindo os valores que temos:
Vamos simplificar isso:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
Então, a equação do plano tangente é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as equações da reta normal à superfície no ponto dado. A reta normal passa pelo ponto
e tem a direção do gradiente que encontramos, ou seja, o vetor
.
As equações paramétricas da reta são dadas por:
Onde
são as componentes do vetor direção e
é o parâmetro.
Substituindo os valores:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto
é:
E as equações paramétricas da reta normal são:
Exercícios relacionados
Ache o gradiente de
em
e a taxa de variação dos valores funcionais na direção de
em
.
b)
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Calcule, caso exista,
.
Nos exercícios
, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo
, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir.
Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
e)
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