Ache uma equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície no ponto indicado.
b) 4x^2 + y^2 + 2z^2 = 26 ; (1, -2, 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície no ponto dado. A superfície é definida por e o ponto em questão é . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o gradiente, que nos ajuda a encontrar vetores normais à superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função que define a superfície. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é perpendicular à superfície. A função aqui é .
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:
No ponto , substituímos os valores:

Passo 3

Agora que temos o gradiente, podemos usar ele para achar a equação do plano tangente. A equação geral do plano tangente em um ponto é:
Substituindo os valores que temos:
Vamos simplificar isso:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
Então, a equação do plano tangente é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as equações da reta normal à superfície no ponto dado. A reta normal passa pelo ponto e tem a direção do gradiente que encontramos, ou seja, o vetor .
As equações paramétricas da reta são dadas por:
Onde são as componentes do vetor direção e é o parâmetro.
Substituindo os valores:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:
E as equações paramétricas da reta normal são:

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e) y = e^x * sen(2 * pi * z) + 2, z = y^2 - ln(x + 1) - 3 ; (0, 2, 1)