Calcule, caso exista,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente sobre limites envolvendo funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender como o comportamento de e
interagem quando
se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. Sabemos que a função sempre está entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os termos por
(que é positivo quando
está próximo de 0), temos:
Passo 3
Agora, vamos investigar o que acontece com
quando
se aproxima de 0. Claramente:
E, obviamente,
Passo 4
Com base no que vimos, temos que está “presas” entre duas funções que ambas tendem a 0 quando
. Esse conceito é conhecido como Teorema do Aperto ou Teorema do Sandwich. Segundo ele, se uma função está entre duas funções que têm o mesmo limite, então a função também tem esse limite.
Passo 5
Aplicando o Teorema do Aperto aqui:
Como vimos que
e
, então:
Resposta
O limite é igual a 0.