Calcule, caso exista, lim x 0 x^3 sen 1x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente sobre limites envolvendo funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender como o comportamento de e interagem quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. Sabemos que a função sempre está entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os termos por -1 <= sen 1x <= 1 (que é positivo quando - x^3 <= x^3 sen 1x <= x^3 está próximo de 0), temos:

Passo 3

Agora, vamos investigar o que acontece com limx 0 x^3 = 0 quando limx 0 -x^3 = 0 se aproxima de 0. Claramente:
E, obviamente,

Passo 4

Com base no que vimos, temos que está “presas” entre duas funções que ambas tendem a 0 quando . Esse conceito é conhecido como Teorema do Aperto ou Teorema do Sandwich. Segundo ele, se uma função está entre duas funções que têm o mesmo limite, então a função também tem esse limite.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Aperto aqui:
Como vimos que - x^3 <= x^3 sen 1x <= x^3 e limx 0 x^3 sen 1x = 0 , então:

Resposta

O limite é igual a 0.

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