Nos exercícios
, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo
, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido formado ao girar uma região em torno do eixo
usando o método da casca. As curvas que delimitam essa região são
,
e a reta
. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o método da casca e aplicar algumas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região que vamos girar. Para isso, vamos encontrar onde as curvas se intersectam:
- Igualando
e :
Então, as curvas se interceptam no ponto
. A região que vamos girar está limitada por
até
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o método da casca. Esse método é útil para calcular volumes de sólidos de revolução, especialmente quando o eixo de rotação é paralelo ao eixo das variáveis. A fórmula geral é:
Aqui,
é a distância até o eixo de rotação,
é a função de cima e
é a função de baixo.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso:
-
(a linha de cima) -
(a linha de baixo) -
e (os limites de integração)
Substituindo na fórmula:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Substituindo de volta na expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.