Nos exercícios 7 - 14, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo y, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir.
y = x, y = -x / 2, x = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido formado ao girar uma região em torno do eixo usando o método da casca. As curvas que delimitam essa região são , e a reta . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o método da casca e aplicar algumas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região que vamos girar. Para isso, vamos encontrar onde as curvas se intersectam:
  • Igualando e :
Então, as curvas se interceptam no ponto . A região que vamos girar está limitada por até .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o método da casca. Esse método é útil para calcular volumes de sólidos de revolução, especialmente quando o eixo de rotação é paralelo ao eixo das variáveis. A fórmula geral é:
Aqui, é a distância até o eixo de rotação, é a função de cima e é a função de baixo.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso:
  • (a linha de cima)
  • (a linha de baixo)
  • e (os limites de integração)
Substituindo na fórmula:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Substituindo de volta na expressão do volume:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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